2016中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析
几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算”
1.（201120题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）
（1）证明：如图2，连接AB、BC，
??CB? ∵点C是劣弧AB上的中点 ∴CA∴CA＝CB ，又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA，∴在△ABD中，CBE B O C D 图9
A E B O C D 图
A
?1AD 2∴∠ABD＝90° ，∴∠ABE＝90° ∴AE是⊙O的直径.
（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵⊙O的半径为5，AC＝4， ∴AE＝10，⊙O的面积为25π，
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
E B O C D 图2
A
E B O C D 图3
A
CE?AE2?AC2?102?42?221
11∴S△ACE＝?AC?CE??4?221?421 22125?1∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝?25??421??421
2222.（2011中考21题）如图11，一矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，[来源:学科网]点C
落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
（1）求证：AG＝C′G；
（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。
C′
A G D
A C′ E C′
D
A G D
G M N B C B 图11
图12
C
B C
C′ E A D
图4
G M （1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90° 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90° ∴AB＝ C′D，∠A＝∠C′ N 在△ABG和△C′DG中，∵AB＝ C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ∴△ABG≌△C′DG（AAS） ∴AG＝C′G B （2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：C′G＝y，DG＝8－y，DM在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6，
∴ C′G2＋C′D2＝DG2 即：y2＋62＝（8－y）2
?1AD?4cm， 2图5
C 7725 ∴C′G＝cm，DG＝cm
44474x7DMME又∵△DME∽△DC′G ∴ ， 即：?解得：x?， 即：EM＝（cm） ∴所求的?66DC?C?G6(7)4解得：
y?
EM长为
7cm。 6【典型例题分析】
1. （2011凉山 ）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则值是 .
AMEDMCAM的
解
AMDE答：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如图1：当E在
线
B图1CB图2C段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴
MCBC8 ??；
AMAE5如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11， ∴△MAE∽△MCB，∴
的值是
MCMCBC8??． ∴ AMAE11AM8888或．故答案为：或． 5115112. （2011江津区 ）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ．
解答：解：连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，
∴EG＝GB，EB＝2EG， BG＝
BC?AB4?8＝AC82?4222＝855，设D（x，y），则有：OD﹣OF＝AD﹣AF，AE﹣
22222AF＝BE﹣BF即：8﹣x＝（2BG）﹣（8﹣x），解得：x＝
222222432?2432?,?． 故， y＝EF＝， ∴E点的坐标为：?55?55?答案为：??2432?,?． ?55?3. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且
AP?5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂
足，则EQ：EF的值是（ ）A、5:8 B、5:13 C、5:16 D、3:8 解答：分析：容易看出Rt?BEQ∽Rt?BPA,得
EQAP?, BQAB155BP??BP。而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置， 28165,有EF?CG?BP，?EQ:EF?BP:BP?5:16 解：选C。 由Rt?CGB?Rt?BPA16即EQ?
D F C
D F C
P A Q P Q E A B 4. （2011?）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是ABCE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的G E 上的点，沿B
长为（ ）A、 B、 C、 D、6
解答：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=CO，BE=OE，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，得AB=3即（3
﹣x）2=（3
）2+32，得x=
，∴AE=EC=3
﹣
，在Rt△AOE中，设OE=x，AE=3=2
．选A．
﹣x，AE2=AO2+OE2，
5. （2011?潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ．
解答：解：连接EB， ∵BD垂直平分EF，
∴ED=EB， 设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm， 在Rt△AEB中， AE2+AB2=BE2， 即：x2+32=（4﹣x）2，
解得：x= 故答案为：cm．
6.如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?，AC相交于点D。求BD的长。 解：如图（2），作DG?BC?1。将?ABC绕点C逆时针旋转30°得到?A1B1C1， CB1与AB?45?,?DG?BG?22BD?x在22?CB于点G，设BD=x，?Rt?DGB中，?BRt?DCG中，?DCG??B1CB?30?，
26x?x。 2262x?x?1, ?CG?BG?CB?1,即226?26?2解得x?。?BD的长为。
22?CG?3DG?3?7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若
AF?CE于点F，且AF平分
D C F G CD2?DAE,?,AE5求
sin?CAF的值。
A B
E
中考数学专题：几何图形证明和计算题分析
