考试指南报——课堂网（www.k45.cn）
算法案例
一．【课标要求】
通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
二．【命题走向】
算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。
预测2010年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目
三．【要点精讲】
1．求最大公约数
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数
（3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n；
② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r；
④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止。 （4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之
步骤：
Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
2．秦九韶算法
秦九韶算法的一般规则：
秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求 v0=an
v1=anx+an－1 v2=v1x+an－2 v3=v2x+an－3 ……..
vn=vn－1x+a0
编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000） 联系电话：027—85789995
考试指南报——课堂网（www.k45.cn）
观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。 我们可以得到下面的递推公式： v0=an
vk=vk－1+an－k(k=1,2,…n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现 3．进位制 （1）概念
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
anan?1...a1a0(k)(0?an?k,0?an?1,...,a1,a0?k)，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。
（2）进位制间的转换 关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。
非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：
anan?1.....a1a0(k)?an?kn?an?1?kn?1?.........?a1?k?a0
第一步：从左到右依次取出k进制数anan?1.....a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即an?kn,an?1?kn?1,.........,a1?k,a0?k0； 第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。
十进制数转换成非十进制数
把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。
非十进制之间的转换
一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。
四．【典例解析】
题型1：求最大公约数
例1．（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数？ （2）用更相减损来求80和36的最大公约数？
解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）
编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000） 联系电话：027—85789995
考试指南报——课堂网（www.k45.cn）
123＝2×48＋27 48＝1×27＋21 27＝1×21＋6 21＝3×6＋3 6＝2×3+0
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。
（2）分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等
更相减损术：
因为80和36都是偶数，要去公因数2。 80÷2=40，36÷2=18；
40和18都是偶数，要去公因数2。 40÷2=20，18÷2=9
下面来求20与9的最大公约数， 20－9=11 11－9=2 9－2=7 7－2=5 5－2=3 3－2=1 2－1=1
可得80和36的最大公约数为22×1=4。
点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。
例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。 解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。
解题思路如下：
首先对两个数进行素因数分解： 840=23×3×5×7，1764=22×32×72，
其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。
接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。
算法步骤：
第一步：将840进行素数分解23×3×5×7； 第二步：将1764进行素数分解22×32×72； 第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；
第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1； 第五步：最大公因数为22×31×71=84。
点评：质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数 题型2：秦九韶算法 例3．（2009福州模拟）如果执行右面的程序框图，那么输出的S? （ ）
编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000） 联系电话：027—85789995
考试指南报——课堂网（www.k45.cn）
开始
i?1,s?1
i?i?1
s?2(s?1) i?5?否
是
输出s
结束
A．22 B．46 C．94 D．190 答案 C 2、（2009浙江卷理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的 值是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】对于k?0,s?1,?k?1，而对于k?1,s?3,?k?2，则
k?2,s?3?8,?k?3，后面是k?3,s?3?8?211,?k?4，不
符合条件时输出的k?4． 答案 A
3、（2009天津卷理）阅读上（右）图的程序框图，则输出的S= ( ) A 26 B 35 C 40 D 57 【解析】当i?1时，T?2,S?2；当i?2时，T?5,S?7；当i?3 时，T?8,S?15；当i?4时，T?11,S?26；当i?5时，
T?14,S?40；当i?6时，T?17,S?57，故选择C。
编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000） 联系电话：027—85789995
考试指南报——课堂网（www.k45.cn）
答案 Ｃ
4（2009安徽卷文）程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。
【解析】根据流程图可得a的取值依次为1、3、7、15、31、63?? 答案 127
点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达
(n?1)n，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数2减少到最多n次，加法最多n次。
例4．已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。 解析：把多项式变形为：f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7
计算的过程可以列表表示为： 多项式x系数 运算所得的值 变形后x的\系数\ 2 －5 10 －4 25 3 105 －6 540 7 2670 运算 + *5 2 5 21 108 534 2677 最后的系数2677即为所求的值 算法过程： v0=2
v1=2×5－5=5 v2=5×5－4=21 v3=21×5+3=108 v4=108×5－6=534 v5=534×5+7=2677
编辑部地址：武汉市前三眼桥85号（430000） 联系电话：027—85789995
1.3算法案例教案
