第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
A级:“四基”巩固训练
一、选择题
1.已知函数f(x)的图像如图,其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为( )
A.4,4 C.5,4 答案 D
解析 由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号,因此不能用二分法求零点,而其余3个均可使用二分法求零点.
2.对于函数f(x)=x+c,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内( ) A.一定有零点 C.可能有两个零点 答案 C
解析 利用特殖值法和数形结合的思想验证.如:①令c=1,则f(x)=x+1,f(2)=
2
2
B.3,4 D.4,3
B.一定没有零点 D.至多有一个零点
f(-2)=5>0,在(-2,2)内无零点;
②令c=0,则f(x)=x,f(2)=f(-2)=4>0, 在(-2,2)内有一个零点;
③令c=-1,则f(x)=x-1,f(2)=f(-2)=3>0,在(-2,2)内有两个零点.因此只有C正确.
3.函数f(x)的图像是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(2,3)内近似解的过程中得f(2)<0,f(2.5)>0,f(2.25)<0,则方程的解所在的区间为( )
A.(2.25,2.5) C.(2.5,3) 答案 A
解析 由于f(2.25)f(2.5)<0,则方程的解所在的区间为(2.25,2.5).
4.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,
B.(2,2.25) D.不能确定
22
1
依次确定了零点所在的区间为?0,?,?0,?,?0,?,则下列说法中正确的是( )
?2??4??8?
A.函数f(x)在区间?0,?内一定有零点
?16?
?
a??a??a??
a?a????B.函数f(x)在区间?0,?或?,?内有零点 ?16??168?
C.函数f(x)在?
aa?a,a?内无零点
??16?
aaaa????D.函数f(x)在区间?0,?或?,?内有零点,或零点是
16?16??168?
答案 D
解析 根据二分法,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,零点应在?0,??16?或?
?
a??a,a?内,或零点是a.
?16?168?
5.若函数f(x)=x+x-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参
3
2
考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.25)≈-0.984 f(1.4375)≈0.162
那么方程x+x-2x-2=0的一个近似解(精确度小于0.04)为( ) A.1.5 C.1.375 答案 D
解析 由参考数据,知f(1.40625)≈-0.054,f(1.4375)≈0.162,即
B.1.25 D.1.4375
3
2
f(1.5)=0.625 f(1.375)≈-0.260 f(1.40625)≈-0.054 f(1.40625)f(1.4375)<0,且1.4375-1.40625=0.03125<0.04,所以方程的一个近似解可
取为1.4375.故选D.
二、填空题
6.已知图像连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________.
答案 4
0.1n解析 设等分的最少次数为n,则由n<0.01,得2>10,∴n的最小值为4.
27.用二分法求方程x-2x-5=0在区间(2,4)内的实数根时,取中点x1=3,则下一个
3
2
含有根的区间是________.
答案 (2,3)
解析 令f(x)=x-2x-5,则f(2)=2-2×2-5=-1<0,f(3)=3-2×3-5=16>0,故下一个含有根的区间为(2,3).
8.若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是________.
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点; ②函数f(x)在区间(1,2)内有零点; ③函数f(x)在区间(0,2)内有零点; ④函数f(x)在区间(0,4)内有零点. 答案 ④
解析 ∵f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则f(1),f(2),f(4)恰有一负两正或三个都是负的.
函数的图像与x轴相交有4种可能,如图所示:
3
3
3
∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点.故选④. 三、解答题
9.求方程x-2x-1=0的正解的近似值(精确度小于0.1).
解 设f(x)=x-2x-1.∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0,又f(x)在(2,3)内递增,∴在区间(2,3)内,方程x-2x-1=0有唯一实数根.
用二分法逐次计算,列表如下: 零点所 在区间 (2,3) 区间中点 2+3=2.5 2中点对应的 函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 0.5 222
f(2.5)= 3
0.25>0 (2,2.5) (2.25, 2.5) (2.375, 2.5) ∵|2.375-2.4375|=0.0625<0.1,
∴方程x-2x-1=0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.
10.若函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等,则称函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点为“和谐零点”.试判断函数f(x)=x+x-2x-2在区间(1,1.5)上按ε=0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”.
(参考数据:f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,f(1.4375)≈0.162,f(1.4065)≈-0.052)
解 函数f(x)=x+x-2x-2在区间(1,1.5)上有f(1)=-2<0,f(1.5)>0, 故f(x)在(1,1.5)内有零点. 又f(x)=0,即x+x-2x-2=0, 所以(x+1)(x-2)(x+2)=0, 所以f(x)在(1,1.5)内的零点为2, 故精确到ε=0.1的零点为1.4. 用二分法逐次计算,列表如下: 零点所 在区间 (1,1.5) (1.25, 1.5) (1.375, 1.5) 故函数y=f(x)精确度为ε的零点的近似值为1.4375,显然不等于1.4,故求出的零
4
3
23
2
3
2
2
2+2.5=2.25 22.25+2.5=2.375 22.375+2.5=2.4375 2f(2.25)= -0.4375<0 0.25 f(2.375)= -0.109375<0 — 0.125 0.0625 区间中点 1+1.5=1.25 21.25+1.5=1.375 21.375+1.5=1.4375 2中点对应的 函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 0.25 f(1.25)<0 f(1.375)<0 0.125 — 0.0625 点不为“和谐零点”.
B级:“四能”提升训练
1.现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用同一架天平(无砝码),限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称?
解 先在天平左右各放4个球.有两种情况: (1)若平,则“坏球”在剩下的4个球中.
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端,取3个好球放天平的另一端,
①若仍平,则“坏球”为4个球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平比一比,即知“坏球”是轻还是重;
②若不平,则“坏球”在天平一端的3个球之中,且知是轻还是重.任取其中2个球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏球”.
(2)若不平,则“坏球”在天平上的8个球中,不妨设天平右端较重.
从右端4个球中取出3个球,置于一容器内,然后从左端4个球中取3个球移到右端,再从外面好球中取3个补到左端,看天平,有三种可能.
①若平,则“坏球”是容器内3个球之一且偏重;
②若左端重,“坏球”已从左端换到右端,因此,“坏球”在从左端移到右端的3个球中,并且偏轻;
③若右端重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
2.已知函数f(x)=3ax+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
证明 ∵f(1)>0.∴3a+2b+c>0, 即3(a+b+c)-b-2c>0. ∵a+b+c=0,∴-b-2c>0. 则-b-c>c,即a>c. ∵f(0)>0,∴c>0,则a>0. 1在区间[0,1]内选取二等分点,
2
31?1?3
则f??=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
44?2?4∵f(0)>0,f(1)>0,
2
5
高中数学第三章函数 零点的存在性及其近似值的求法课后课时精练新人教B版必修第一册
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