第3讲 函数的奇偶性与周期性
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·合肥质检]下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x C．y＝－x＋1 答案 B
解析 因为y＝x是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x＋1，y＝2又因为y＝－x＋1，y＝2
2
－|x|
3
2
－|x|
23
B．y＝|x|＋1 D．y＝2
－|x|
均为偶函数，所以A错误；
?1?|x|
＝??在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)?2?
上为增函数，所以C，D两项错误，只有B正确．
2．[2018·南宁模拟]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 C．|f(x)|g(x)是奇函数 答案 B
解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数．故选B.
3．[2017·齐鲁名校模拟]已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋m，则f(－2)＝( )
A．－3 5C. 4答案 A
解析 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝2＋m＝0，解得m＝－1，则
0
B．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
x5B．－
4D．3
f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
?5?4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f??成立的?3?
x的取值范围是( )
?14?A.?－，? ?33??14?C.?，? ?33?
答案 B
?14?B.?－，? ?33??14?D.?，? ?33?
解析 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调5514?5?递增，若f(2x－1)>f??，则－<2x－1<，解得－ 5．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) 答案 B D．x(1＋x) 解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 6．[2018·贵阳模拟]已知函数f(x)＝x＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A．3 C．－1 答案 B 解析 设F(x)＝f(x)－1＝x＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以 3 3 B．0 D．－2 F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B. 7．[2018·德州模拟]设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式 fx＋f－x>0的解集为( ) xA．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 A 解析 由B．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1) fx＋f－x2fxfx>0，可得>0，即>0， xxx当x<0时，f(x)<0，即f(x) x8．[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x＋x，则f(2)＝________. 答案 12 解析 解法一：令x>0，则－x<0. ∴f(－x)＝－2x＋x. ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x－x(x>0)． ∴f(2)＝2×2－2＝12. 解法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 1 9．[2017·豫东十校联考]若f(x)＝x＋a是奇函数，则a＝________. 2－11答案 2 111 解析 依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得1＋a＋－1＋a＝0，解得a＝. 2－12－1210．[2018·衡水模拟]已知y＝f(x)＋x是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则 2 3 2 3 23 2 3 2 g(－1)＝________. 答案 －1 解析 ∵y＝f(x)＋x是奇函数，且f(1)＝1， ∴f(－1)＋(－1)＝－[f(1)＋1]，∴f(－1)＝－3. 因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. [B级 知能提升] 1．[2018·金版创新]已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x＋2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2016，＋∞)(x1≠x2)，都有 A．f(2019) 解析 因为f(x)对任意x1，x2∈[2016，＋∞)(x1≠x2)，都有 2 2 2 fx2－fx1 <0，则( ) x2－x1 fx2－fx1 <0，所以 x2－x1 f(x)在[2016，＋∞)上单调递减，所以f(2017)>f(2018)>f(2019)．又因为f(x＋2016)为偶 函数，所以f(－x＋2016)＝f(x＋2016)，所以f(－2＋2016)＝f(2＋2016)，即f(2014)＝ f(2018)，所以f(2017)>f(2014)>f(2019)．故选A. 2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e，则g(x)＝( ) A．e－e 1－xxC.(e－e) 2答案 D 解析 由f(x)＋g(x)＝e，可得f(－x)＋g(－x)＝e.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，e－e可得f(x)－g(x)＝e，则两式相减，可得g(x)＝.选D. 2 －xxx－x1x－xB.(e＋e) 21x－xD.(e－e) 2 x－xx－x3．[2018·苏州模拟]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)·f(x)＝1对于x∈R恒成立，且f(x)>0，则f(119)＝________. 答案 1 解析 ∵f(x＋2)＝1 fx1 ，∴f(x＋4)＝f(x)，∴周期T＝4，f(119)＝f(3)．令x＝－1， f(1)f(－1)＝1， ∴f(1)＝1，f(3)＝f＝1. 4．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m)<0的实数m的取值范围． 解 ∵f(x)的定义域为[－2,2]， 2 ??－2≤1－m≤2，∴?2 ?－2≤1－m≤2，? 2 解得－1≤m≤3.① 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f(x)在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)<－f(1－m)＝f(m－1) ?1－m>m－1，解得－2 2 2 综合①②可知－1≤m＜1. 即实数m的取值范围是[－1,1)． 5．[2018·大同检测]函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解 (1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数． 证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 1 ∴f(－1)＝f(1)＝0. 2 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|) ∴0<|x－1|<16，解之得－15
全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性增分练
