12．（5分）（2010?江西）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin2x，
，
的图象如下．结果发现
其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（ ）
A．
B．
C．
D． 【考点】正弦函数的图象． 【专题】作图题．
【分析】可采用排除法，取一个特殊点来观察，如当y=sin2x的图象取最高点时其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，从而只有C不合适 【解答】解：y=sin2x的图象取最高点时，x=kπ+此时，x+∴
=kπ+
，x﹣，
=kπ﹣
的函数值一定不是1或0，
，k∈Z
即y=sin2x的图象取最高点时，其他两函数对应的点一定不是最值点或零点，而C不适合， 故选C
【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，y=Asin（ωx+φ）型函数的对称性，排除法解图象选择题
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2010?江西）已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是 1 ．
【考点】向量的投影．
【专题】常规题型；计算题．
【分析】根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=
求解．
6 / 13
【解答】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1
故答案为：1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 14．（4分）（2010?江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 90 种（用数字作答）． 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题．
【分析】根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组， 由分组公式可得，共有
=15种不同分组方法，
进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，
由分步计数原理可得，不同的分配方案有15×6=90种， 故答案为90．
【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．
15．（4分）（2010?江西）点A（x0，y0）在双曲线的距离等于2x0，则x0= 2 ． 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题设条件先求出a，b，由此能求出x0的值． 【解答】解：a=2．c=6，∴右焦点F（6，0） 把A（x0，y0）代入双曲线∴|AF|=∴
．
，得y02=8x02﹣32，
的右支上，若点A到右焦点
故答案为：2．
【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用． 16．（4分）（2010?江西）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB=AA1=1，BC=
，则A，B两点间的球面距离为
．
7 / 13
【考点】球面距离及相关计算． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】考查球面距离的问题，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案．
【解答】解：设球的球心为O，球的直径即为长方体的对角线长， 即2R=， ∴R=1，
在等腰三角形OAB中， 球心角∠AOB=
，
∴利用球面距离公式得出： 距离公式=答案：
．
．
【点评】本题主要考查球的性质、球面距离，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2010?江西）设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax． （1）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是（﹣∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题． 【分析】（1）先求原函数的导函数，根据导函数在极值点处的值为零建立等式关系，求出参数a即可；
（2）根据二次函数的判别式进行判定能否使导函数恒大于零，如果能就存在，否则就不存在．
【解答】解：f′（x）=18x2+6（a+2）x+2a （1）由已知有f′（x1）=f′（x2）=0， 从而
，
所以a=9；
（2）由△=36（a+2）2﹣4×18×2a=36（a2+4）＞0， 所以不存在实a，使得f（x）是R上的单调函数．
【点评】本题主要考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识，是高考中常考的问题，属于基础题．
8 / 13
18．（12分）（2010?江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止． （1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率； （2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率． 【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】计算题． 【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的所有事件数为3，而满足条件的事件数是1，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）走出迷宫的时间超过3小时这一事件，包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道，回来后又进入3号通道，二是进入3号通道，回来后又进入2号通道，三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率 ∵试验发生包含的所有事件数为3， 而满足条件的事件数是1，
设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件， ∴P（A）=．
（2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件， 本事件包括三种情况，且这三种情况是互斥的， 一是进入2号通道，回来后又进入3号通道的概率是二是进入3号通道，回来后又进入2号通道的概率是三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率是则P（B）=
=．
= = =
【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．
19．（12分）（2010?江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x﹣2sin（x+（1）若tanα=2，求f（α）； （2）若x∈[
，
]，求f（x）的取值范围．
）sin（x﹣
）．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为
，通过tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
9 / 13
（2）化简函数为：然后求f（x）的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=（1+cotx）sin2x﹣2sin（x+=
+
=
，由x∈[，]，求出2x+的范围，
）sin（x﹣ =
）=sin2x+sinxcosx+cos2x
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα==，
cos2α==
所以
（2）由（1）得由从而
．
得
，所以
．
【点评】三角函数的化简，包括降幂扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容，另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握．熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Asin（ωx+φ）性质． 20．（12分）（2010?江西）如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．
（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角． 【专题】计算题． 【分析】（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．
10 / 13
江西省高考数学试卷文科答案与解析
