圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台布莱克-斯科尔斯-默顿模型第15章15.1复习笔记1．股票价格的对数正态分布性质布莱克-斯科尔斯模型的潜在假设是，（在不支付股利的条件下）短期股票价格变动的百分比大致是服从正态分布的，在连续的几个短时期内股价变动之间是相互独立的，即股票价格收益率服从随机游走。定义：μ：股票每年的收益率期望；σ：股票价格每年的波动率。在时间段Δt内股票价格变动百分比的平均值为μΔt，股价变动百分比的标准差为。因此，布莱克-斯科尔斯模型的潜在假设可以表述为：（15-1）方程（15-1）表明：给定股票现价时，在未来任一时刻的股票价格服从对数正态分布。因此lnST服从正态分布：（15-2）式中ST是在未来时间T时的价格，S0是在时间0时的价格。方程（15-2）说明lnST
服从正态分布，所以ST具有对数正态分布。lnST的均值是lnS0+（μ-σ2/2）T，标准差是方程（15-2）表明股票价格ST的期望值为：S0eμT（15-3）方差为：（15-4）1/132。圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台成比例，这说明股票价格对数的标准差与所预测的未来时间lnST的标准差与长度的平方根成正比。预测未来的时间越远，未来股票价格的不确定性就越大。具有对数正态分布的变量可以在0和无穷大之间任意取值。图15-1表示的是一个对数正态分布的形态。图15-1对数正态分布2．收益率的分布利用股票价格的对数正态特性，可以得到时间0与T之间股票连续复利收益率的概率分布。将0与T间的连续复利年收益率定义为x，得到：（15-5）方程（15-5）表明连续复利收益率x服从均值为布。3．收益率期望几年内收益的平均值并不等于几年内按年复利计算的每年平均收益。除非每年的收益恰巧相等，否则，总是前者大于后者。无限短时间的预期收益率为μ，预期连续复利收益率为μ-σ2/2。（一般情况下预期收益率指的是μ。）4．波动率股票的波动率是指在某个特定时间内某一股票价格偏离其均值的程度，是对股票收益率，标准差为的正态分2/132圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台不确定性的衡量，可以被定义为按连续复利计算的股票年收益率的标准差。通常，股票的波动率在15%和60%之间。（1）由历史数据来估计波动率定义：n+1：观察次数；Si：在第i个时间间隔末的股票价格，其中，i=0，1，…，n；τ：以年为单位表示的时间间隔长度。令ui的标准差的估计值s为：或者：其中，是ui的均值。为：σ的估计值（2）交易日天数与日历天数在由历史数据来计算波动率和期权期限时，市场参与者往往会去掉交易所休市的日期。由以下公式，可以从每个交易日的波动率来计算每年的波动率：年波动率=每个交易日的波动率3/132圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台对于股票，通常假设每年的交易日天数为252天。期权期限通常也是由交易日天数而不是由日历天数来度量，结果用T年来表达：5．布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程是基于不付股息股票的任意一种衍生证券的价格必须满足的方程。基本假设如下：（1）股票价格遵循μ、σ为常数的随机过程；（2）允许使用全部所得卖空衍生证券；（3）没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的；（4）在衍生证券的有效期内没有股息支付；（5）不存在无风险套利机会；（6）证券交易是连续的；（7）无风险利率r为常数，并且对所有期限都相同。6．布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导假设，f是基于S的某个看涨期权或其他衍生证券的价格，则f一定是S和t的某一函数。所以，f满足：（15-6）从伊藤引理可得f和S所遵循的维纳过程相同，选择某种股票和衍生证券的证券组合就可以消除维纳过程。恰当的证券组合应该是卖空一份衍生证券，买入数量为的股票。根据假设条件可知，该证券组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券收益率相同，否则会出现套利行为，并4/132圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台最终使差异消除。由此可得：（15-7）方程（15-7）就是布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程。解布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。这些边界条件确定了在S和t的可能取值的边界上衍生证券的价值。（1）对于欧式看涨期权的情况，关键的边界条件为：f=max（S-K，0）当t=T时（2）对于欧式看跌期权的情况，关键的边界条件为：f=max（K-S，0）当t=T时永续衍生产品的价值由以下公式给出：可交易衍生产品的价格：任何满足方程（15-7）的函数f（S，t）均可以作为某种可交易衍生产品的理论价格。如果以函数f（S，t）为价格的衍生产品确实存在，这个价格将不会造成任何套利机会；反之，如果函数f（S，t）不满足方程（15-7），那么在不给交易员制造套利机会的前提下，这一函数不会是衍生产品的理论价格。7．风险中性定价当为基于股票价格的衍生证券定价时，可以假设这个世界是风险中性的。这就意味着可以假设股票的预期收益率为无风险利率，然后以无风险利率贴现期望收益。它是来源于布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程（15-7）的一个关键性质。这一性质是：该方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变量。方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风险利率，它们都独立于风险偏好。5/132
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记和课后习题详解-第十五章至第十九章【圣才出品】
