第三章 流体运动学
3－1 已知流体质点的运动,由拉格朗日变数表示为 x =aekt,y =be-kt,z =c,式中k就是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度与加速度。
解:(1)由题给条件知,流体质点在z=c的平面上运动,消去时间t后,得
xy=ab
上式表示流体质点的迹线就是一双曲线族:对于某一给定的(a,b),则为一确定的双曲线。
?x?y?z?kaekt，uy???kbe?kt，uz??0 ?t?t?t?uy?ux?u2kt?kae，ay??k2be?kt，az?z?0 (3)ax??t?t?t(2)ux?3－2 已知流体运动,由欧拉变数表示为ux =kx,uy =－ky,uz =0,式中k就是不为零的常数。
试求流场的加速度。
解:ax?dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzx?k2x dt?t?x?y?zduyduay??k2y,az?z?0
dtdt3－3 已知ux =yzt,uy =zxt,uz =0,试求t =1时流体质点在(1,2,1)处的加速度。 解:ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx?yz?zxt(zt)?3m/s2 ?t?x?y?z?u?u?u?uay?y?uxy?uyy?uzy?zx?yzt(zt)?3m/s2
?t?x?y?z?u?u?u?uaz?z?uxz?uyz?uzz?0
?t?x?y?z3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为ux =1－y,uy =t。试求(1)t =0时,过(0,0)点的迹
线方程;(2)t =1时,过(0,0)点的流线方程。 解:(1)迹线的微分方程式为
dxuxdyuydxdt，uxdydt，uydt，dyuydttdt，
t2积分上式得:y??C1,当t=0时,y=0,C1=0,所以
2t2y? (1)
2t2t3dxuxdt(1y)dt(1)dt,积分上式得:x?t??C2
26当t=0时,x=0,C2=0,所以
t3x?t? (2)
6(2y)3，消去(1)、(2)两式中的t,得x?2y?有理化后得 62342y?y?2y?x2?0 93dxdydxdy?，即?，tdx?(1?y)dy,积分上式得 (2)流线的微分方程式为
uxuy1?yty2tx?(y?)?C
21y2)(为非恒定流) 当t=1时,x=y=0,C=0,所以可得:x?(y?t23－5 已知ux ＝x＋t,uy ＝－y＋t,uz ＝0,试求t ＝2时,通过点A(－1,－1)的流线,并与例
3－3相比较。
解:由例3－3可得:(x?t)(?y?t)?C
当t=2,x=－1,y=－1,C=3。因此,通过点A(－1,－1)的流线为 (x?2)(?y?2)?3
上式不同于例3－3,即当t=0时通过A点的流线为xy＝1,说明不同时刻的流线不同。 3－6 试求例3－6流体运动的流线方程与流体质点通过点A(1,0)流线的形状。
解:例3－6流体运动如题3-6图所示 ux??kykxu?, yx2?y2x2?y2dx(x2流线方程:
kykxdx(x2y2)dy(x2y2)
kx0
k(x2积分,得
y2)kydy(x2y2)dy2)(x2y2)0
2k2(x?y2)?C1,(x2?y2)?C2 2题3-6图
22圆心(0,0),半径R?C2。
当x=1,y=0,代入上式得C2=1。(x?y)=1, 为一圆,因就是恒定流,不同时间为同一圆。
3－7 已知ux??kytkxtu?,,uz=0,式中k就是不为零的常数。试求:(1)流线yx2?y2x2?y2方程,(2)t =1时,通过点A(1,0)流线的形状,(3)将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程
相比较,它们有什么异同。
解:uz=0,为平面(二维)流动。
dx(1)流线方程
uxdy 将ux、uy代入上式,得 uy(x2(x2y2)dxkxty2)kxtdx0,kt(x2(x2(x2y2)dxkyty2)dykyt
x2kxty2dy
kt(x2积分得
y2)(xdxydy)(x2y2)kytdy0 1y2)d(x2y2)0
2y2)tC2。
kt2(x2y2)C1,流线方程一般形式:(x222(2)t=1,x=1,y=0,代入上式,得C2=1;流线为x?y=1,流线的形状为一圆。 (3)因就是非恒定流,不同时间为不同的圆,如t=2,x=1,y=0,C2=2,x2y2(2)2
3－8 试证明下列不可压缩均质流体运动中,哪些满足连续性方程,哪些不满足连续性方程。(1)ux＝－ky,uy＝kx,uz＝0;(2)ux＝kx,uy＝－ky,uz＝0;(3)ux＝
?y, 22x?yuy＝
x,uz＝0;(4)ux＝ay,uy＝uz＝0;(5)ux＝4,uy＝ uz＝0;(6)ux＝1,
x2?y2 uy ＝2;(7)ux ＝4x,uy ＝0;(8)ux ＝4xy,uy ＝0。
?ux?uy??0 解:平面流动中,不可压缩均质流体的连续性方程为?x?y2xy2xy??0;(4)0＋0＝0; (1)0＋0＝0;(2)k－k=0;(3)222222(x?y)(x?y)(5)0＋0＝0,(6)0＋0＝0;(7)4＋0≠0,(8)4y＋0≠0。
(1)~(6)的流体运动满足连续性方程;(7)、(8)的流体运动不满足连续性方程,实际上流动就是不能实现的。
3－9 已知水平圆管过流断面上的流速分布为urumax1()2, umax为管轴处最大流
r0速,r0为圆管半径,r为点流速u距管轴的径距。试求断面平均速度v。
解:v?11udA?A?A?r02?0r0??r?2?umax?1????2?rdr
r???0???
2r0r?2πumax2?umax?r0???0rdr??02rdr??22πr0?r0πr0??r02r02?????0.5umax ?24?1y3－10 已知水平圆管过流断面上的流速分布为ux?umax()7,umax为管轴处最大流
r0速,r0为圆管半径,y为点流速ux距管壁的距离。试求断面平均流速v。
解:Q??udA?2πu?Axmaxr00y()(r0?y)dy r0172πumax787r0y17r08vQA7157049y?πumaxr02
6015049umax600.817umax。
r491πumaxr02260r03－11 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴,如图所示。已知圆管直径dA ＝0.2m,
流量Q ＝0.014m3/s;dB ＝0、1m。试求经过圆管内点A与收敛管嘴内点B的过流断面的平均流速vA、vB。注:经过点B的过流断面面积,可近似地视为球缺或球冠表面积,为2πRh(不包括底面面积)。
解:vA=
Q4Q4?0.014?m/s?0.45m/s =
AAπdA2π?0.22经过点B的过流断面面积,可近似地视为球缺面积
3第三章 流体运动学
