(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________． 【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称可得，y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，
?g（1）>0，?2－a>0，1]上递减，则有?即?解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
?a≥1，?a≥1，
【答案】 (1)B (2)[1，2)
(1)比较对数值的大小的方法
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法
①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0 ②形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1．(2024·宁波模拟)已知a>0，a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是( ) 11 A．≤a<或a>1 B．a>1 641111C．≤a< D．≤a≤或a>1 8454 解析：选A.令t＝|ax2－x|，y＝logat，当a>1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax2 －x|，x∈[3，4]， 1111 要为递增函数，所以<3或4≤，解得a>或a≤，所以a>1，当0 a2a38 1111 为递减函数，所以内函数t＝|ax2－x|，x∈[3，4]，要为递减函数，≤3<4<，解得≤a<， 2aa64 11 综上所述，≤a<或a>1，故选A. 642．(2024·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x－4)，则方程f(x)＝1的解是________，不等式f(x)<0的解集是________． 解析：因为f(x)＝1，所以lg(2x－4)＝1，所以2x－4＝10，所以x＝7；因为f(x)<0，所以0<2x－4<1，所以2 答案：7 (2，2.5) 对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0 1?画对数函数y＝logax的图象应抓住三个关键点：(a，1)，(1，0)，??a，－1?. 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较． 解决与对数函数有关问题时应关注两点 (1)务必先研究函数的定义域； (2)务必要注意对数底数的取值范围，即注意底数a与1的大小关系． 利用“反函数”的性质解题 指数函数与对数函数是互为反函数的关系，当题目中出现指数函数与对数函数时，可以联想“反函数”，结合互为反函数的两个函数的性质(图象关于直线y＝x对称)，利用数形结合进行求解；若出现f(f(a))＝b，也可以利用“互为反函数”的两个函数的性质(若f(x)图象上有一点(a，b)，则(b，a)在其反函数图象上)来转化问题． 与对数型函数有关的恒成立问题 与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关．对于函数y＝logaf(x)，若定义域R(即对任意x都有意义)，则f(x)>0，在R上恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，则函数f(x)能取所有正实数． [基础达标] 1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A．2 C．10 B．5 D．20 解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. ln（x＋3） 2．函数f(x)＝的定义域是( ) 1－2x A．(－3，0) B．(－3，0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0) ?ln（x＋3）?x＋3>0，解析：选A.因为f(x)＝，所以要使函数f(x)有意义，需使?即－3 xx 1－2?1－2>0，? 3．(2024·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83＝p，log35＝q，则lg 5(用p、q表示) 等于( ) 3p＋q1＋3pqA． B． 5p＋q3pqC． D．p2＋q2 1＋3pq解析：选C.因为log83＝p，所以lg 3＝3plg 2，又因为log35＝q，所以lg 5＝qlg 3，所以 3pq lg 5＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，所以lg 5＝，故选C. 1＋3pq 1－ 4．若函数f(x)＝ax1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是( ) x＋1 3解析：选D.由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，a＝2. 133 所以g(x)＝log2＝－log2(x＋1)． x＋1 由于g(0)＝0，且g(x)在定义域上是减函数，故排除A，B，C. 5．(2024·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log1|x－1|，则下列结论正确的是( ) 2 1 －? －? －? －? D．f(3) －?＝log1，因为－1＝log12 log11＝0；f(3)＝log12＝－1，所以C正确． 2 2 6．设函数f(x)＝log1(x2＋1)＋ 2 ，则不等式3x2＋1 8 f(log2x)＋f(log1x)≥2的解集为( ) 2 A．(0，2] C．[2，＋∞) 1?B．??2，2? 1 0，?∪[2，＋∞) D．??2?8 解析：选B.因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝log1(x2＋1)＋2＝f(x)，所以f(x)为R上 3x＋12 的偶函数． 易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t＝log2x，所以log1x＝－t， 2 则不等式f(log2x)＋f(log1x)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2， 2 即2f(t)≥2，所以f(t)≥1， 8 又因为f(1)＝log12＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，所以－ 3＋12 1? 1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈??2，2?，故选B. 11 7．(2024·瑞安市高三四校联考)若正数a，b满足log2a＝log5b＝lg(a＋b)，则＋的值为 ab ________． 解析：设log2a＝log5b＝lg(a＋b)＝k， 所以a＝2k，b＝5k，a＋b＝10k，所以ab＝10k， 11 所以a＋b＝ab，则＋＝1. ab 答案：1 8．设函数f(x)＝|logax|(0 值为，则实数a的值为________． 3 解析：作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图，令|logax|＝1. 1－a（1－a）（a－1）1?1 －1＝1－a－得x＝a或x＝，又1－a－?＝＜0， ?a?aaa 1 故1－a＜－1， a 12 所以n－m的最小值为1－a＝，a＝. 33 2答案： 39．(2024·台州模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数， 由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1， 8 解之得1 3当0 且8－2a<0，所以a>4，且a<1，故不存在． 81，?. 综上可知，实数a的取值范围是??3?81，? 答案：??3? ?|log3x|，0＜x≤3，? 10．已知函数f(x)＝?若a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的 ?2－logx，x＞3，?3 取值范围为________． 1 解析：由f(a)＝f(b)＝f(c)，可知－log3a＝log3b＝2－log3c，则ab＝1，bc＝9，故a＝，b 9101019 c＝，则a＋b＋c＝b＋，又b∈(1，3)，位于函数f(b)＝b＋的减区间上，所以＜a＋bbbb3＋c＜11. 19 ，11? 答案：??3? 11．函数f(x)＝log1(ax－3)(a>0且a≠1)． 2 (1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域； (2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围． 解：(1)令t＝ax－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t>22－3＝1， 由复合函数的单调性原则可知，f(x)＝log1(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减， 2所以f(x) 2 (2)因为函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则， ?0 所以t＝a－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即?解得0 a x＋－2?，其中x>0，a>0. 12．(2024·浙江高考调研(一))已知函数f(x)＝lg??x? (1)求函数f(x)的定义域； (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． x2－2x＋aa 解：(1)由x＋－2>0，得>0. xx因为x>0，所以x2－2x＋a>0. 当a>1时，定义域为(0，＋∞)； 当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)； 当0 1－a)∪(1＋ 1－a，＋∞)． (2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， a 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立， x即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立， 记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)， 则只需a>h(x)max. 39 x－?＋在[2，＋∞)上是减函数， 而h(x)＝－x2＋3x＝－??2?4所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2. [能力提升] 1．设x，y，z为正数，且2＝3＝5，则( ) A．2x<3y<5z C．3y<5z<2x x y z 2 B．5z<2x<3y D．3y<2x<5z 解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k>1， 所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. 2logk3－3logk2logk32－logk2323 因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝ logk2logk3logk2·logk3logk2·logk3logk >0， logk2·logk3 所以2x>3y； 3logk5－5logk3logk53－logk3535 因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝ logk3logk5logk3·logk5logk3·logk5logk <0， logk3·logk5 所以3y<5z； 2logk5－5logk2logk52－logk2525 因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝ logk2logk5logk2·logk5logk2·logk5125 24398
高三一轮复习2024版 第二章 第6讲 对数与对数函数
