2.6 正态分布
1．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点) 2．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 正态密度曲线
阅读教材P75～P76第三自然段，完成下列问题． 1．正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝
2
12πσx－μ2
e－
2σ2
，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
2．正态密度曲线图象具有如下特征：
(1)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以
x轴为渐近线；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称；
(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布
1
用分布列描述．( )
【解析】 (1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)√ 因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．
(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2； ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. 【解析】 正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误． 【答案】 ③ 教材整理2 正态分布
阅读教材P76第四自然段～P79部分，完成下列问题．
1．正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．N(0,1)称为标准正态分布． 2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ)时， (1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%， (2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%， (3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 由于落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(μ－3σ，μ＋3σ)内的值． 3．中心极限定理 在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理． 2 2 关于正态分布N(μ，σ)，下列说法正确的是________．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件； ④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 【解析】 ∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4， ∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6， ∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件． 【答案】 ④ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 2 [小组合作型] 正态密度函数与正态密度曲线的特征 22 (1)设两个正态分布N(μ1，σ1)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图2-6-1所示，则有______________________________________________． 图2-6-1 ①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2； ③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2. (2)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________． 3 ①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)； ②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)； ③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)； ④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)． 【精彩点拨】 (1)根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较； (2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验． 【自主解答】 (1)由两密度曲线的对称轴位置知：μ1<μ2；由曲线的陡峭程度知： σ1<σ2. (2)因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确； 因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝ P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|＞a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)，所以④正确． 【答案】 (1)① (2)②④ 1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差． 2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度． [再练一题] 2 x－μ1．关于正态曲线P(x)＝e－2 2σ2πσ1 ①正态密度曲线关于直线x＝μ对称； ②正态密度曲线关于直线x＝σ对称； ③正态密度曲线与x轴一定不相交； ④正态密度曲线与x轴一定相交； ⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数； ，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题： ⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定； ⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”． 其中正确的是________(填序号)． 【解析】 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正 4 确． 【答案】 ①③⑥⑦ (1)求c的值；(2)求P(－4＜x＜8)． 利用正态分布的对称性解题 设随机变量X～N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)． 【精彩点拨】 (1)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解． 【自主解答】 (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2. (2)P(－4＜x＜8)＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3)＝0.954. 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 2．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值． 3．注意概率值的求解转化： (1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)； (3)若b＜μ，则P(X＜b)＝ 1－Pμ－b＜X＜μ＋b. 2 [再练一题] 2．若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求： (1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)； (3)P(0.51 (3)P(0.51 5
2016_2017学年高中数学第二章概率26正态分布学案
