【分析】 V??6，
【答案】填yx【分析】7，
【答案】填I?y?11xdx??. ???51220?yxlny.
?z?yxy?1?yxlny. ?x?dy?f?x,y?dx.
00y1y【分析】积分区域D是由直线y?x,y?1及y轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后I??10dy?f?x,y?dx.
08，
【答案】填1. 【分析】记un?9，
【答案】填e.
x?
a111(n?1,2,...)，因为??limn?1?lim1??1，所以收敛半径为R??1.
n??an???nnn2x
xn【分析】由展式e??,x????,???.知
n?0n!2nxn??2x? ????e2x.
n!n?0n!n?0?n10，
【答案】填tanx.tany?C. 【分析】①式可化为
sec2xsec2ydx??dy ②
tanxtany②两边积分，得
sec2xsec2ydx???dy，即 ?tanxtany11d(tanx)???tanx?tanyd(tany)?lntanx??lntany?lnC.
也就是
lntanx.tany?lnC. 所以原方程的通解为tanx.tany?C.
计算题 1，
【分析】
lncotx1cotx.(?csc2x)（洛必达）?lim-----------------------------------------2分 lim?x?0?x?0lnx1xx ------------------------------------------3分
x?0sinx.cosxx ??lim??1--------------------------------------------4分
x?0?xcosx??lim?2，
【分析】
lny??1?2x?ln(1?2x) --------------------------------------------------1 分
上式两端关于x求导，得 即 所以
y??y?2ln(1?2x)?2???1?2x?3，
【分析】由微分形式的不变性知
1?2x1?1?.y??2ln(1?2x)?(1?2x).?.?1?2x???-------------------------2分 y?1?2x?1.y??2ln(1?2x)?2 ----------------------------------------------------3分 y.?2ln(1?2x)?2?.---------------4分
dz?f1?.d?xy??f2?.d?x?y?-------------------------------------------------------2分
即
dz?f1??ydx?xdy??f2??dx?dy?
??yf1??f2??dx??xf1??f2??dy----------------------------------------------- ----4分
所以
?z?z?yf1??f2?；?xf1??f2?.---------------------------------------------------5分
?y?x4，
【分析】
?x2??-----------------------------------------------------1分 ?xln(1?x)dx??ln(1?x)d?2??22x2x22.ln(1?x)??d(ln(1?x2))----------------------------------------2分 （分部）?22
x2x3x2(x3?x)?x22.ln(1?x)??dx?.ln(1?x)??dx--------3分 ?2221?x21?xx2x.ln(1?x2)??xdx??dx ?21?x2x2x21x22.ln(1?x)???d1?x ? ??22221?xx2x212.ln(1?x)??ln(1?x2)?C.------------------------------------4分 ?2225，
【分析】令x?tant，则dx?secdt----------------------------------------------------1分 原式化为
2?21x21?x21dx???arctan24arctan12.sectdt???tan2t.sect42costdt------------------------2分 sin2t2 ???arctan2411arctand(sint)??|?sin2tsint4-----------------------3分
?2?6????2??2?.----------------------------------4分
3?3?注意：倒数第二步用到 sinarctan2???1cscarctan2???11?cot(arctan2)2?11?1tan(arctan2)2 ?11?1?22. 3?2?26，
【分析】 I???xydxdy ?2??xydxdy ------------------------------------------1 分
DD12? （极坐标）?2?20d??rcos?.r2sin2?.rdr-------------------------------------------3分
02??2?20?13???142?82cos?.sin?d?.?rdr?2?sin?|?.?r|??.-----------4分
000?3?3??42237，
【分析】 L的参数方程为
?y?x2,x:0?1-----------------------------------------2分 ?x?x,? 故
??xL3?y?dx?(x?siny)dy
11322?dx???x3?3x2?dx??sinx2.2xdx ???x?x?(x?sinx).2x???0?001135?1?11??x4?x3?|??sinx2d?x2????cosx2|?cos1?.------------4分
044?4?008，
【分析】?1的法向量是n1??2,?3,1?；?2的法向量是n2??1,1,?1?.--------------1分 可取所求直线的方向向量为
ijk s?n1?n2?2?31?2i?3j?5k??2,3,5?----------------------------3分
11?1故所求直线方程为 9，
【分析】f?x??其中
x?1y?1z?1??. 235------------------------------------------4分
1111???----------------------------1分
2?3x?x2?x?2?(x?1)x?2x?11 ?x?2?111??x?1??.????????n?1xn,x???2,2?-------------2分
21?x2n?0?2??x?n?02?2?1??2?2?1n?11?????xn,x???1,1? -------------------------------------------------------3分
x?11?xn?0所以
f?x??使用题 1，
【分析】本题即为求函数z?f?x,y??x?8xy?7y在条件x?2y?100下的条件极值问题.宜用拉格朗
221????2n?0??1?nx,x???1,1?.-------------------------------------------4分 n?1??日乘数法解之.为此令
F?x,y,???x2?8xy?7y2???x?2y?100?.
100??Fx??2x?8y???0,x?,???3由 ?Fy??14y?8x?2??0,解之，?
?y?200.???F??x?y?100?0.?3?由于驻点?大.
2，
【分析】 设所求曲线弧的方程为y?y?x?(0?x?1).据题意，曲线弧OP和直线OP所围成的平面图形的面积为
?100200?100200?,唯一，实际中确有最大值.所以，当吨，吨时可使该产品的产量最x?y??3333??13 ① yxdx?x.yx?x?????02①式两边关于x求导，得
1 y?x???y?x??x.y??x???3x2，即 ??2
x y?x??x.y??x??6x，亦即
2所以
y??x??1.y?x???6x ② x ②为一阶线性微分方程，其通解为
y?x??e?③
1??dxx1?dx???x?6xedx?C??????elnx???6xe?lnxdx?C??x???6dx?C??x??6x?C?????
又将y?1??1代入③，得C?7.所以，所求曲线弧方程为y??6x?7x.
2证明题
【分析】 构造函数f?x??e?x3xdt -------------------------------------------1 分 ??2024?t则f?x?在闭区间 ?0,1?上连续，在开区间?0,1?内可导. 因f?0???13??0，而f?1??e???0----------------------------------------------2分 224故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点???0,1?，使得
f????0.即方程f?x??0在?0,1?内至少有一个实根------------------------------3分
x又f??x??e?1?0，故方程f?x??0在?0,1?内至多有一个实根. ----------4分 1?x2因此，方程f?x??0在?0,1?内有且仅有一个实根.
2001年河南专升本高等数学真题和详细答案
