第三章 向量组的线性相关性和矩阵的秩
（一）基本要求：
（二）内容分析和教学指导
（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题
（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。
（3）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。
定义理解中的误区：（1）定义中的系数是独立的，（2）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（3）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。
列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。重点是列向量组表示的矩阵形式。
（4）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。
用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。
（5）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。
定理的证明重要的是说明思路，关键是理解并利用结论进行推理证明。 重点是利用子式确定矩阵的秩和最大无关组。
（6）初等变换对向量组的影响，初等行变换和化简方程的对应关系。标准形所保留的信息，（变换不变量是矩阵的秩）。可逆矩阵A~E
（7）通过简单的例子说明左乘相当于行变换，右乘相当于列变换，关键是
?1理解其意义。通过求逆阵的初等变换方法可得到一种解矩阵方程X?AB的方
法
（8）介绍向量空间，子空间的基本概念，对比基和最大无关组的定义，加深对基和最大无关组，向量组和向量空间的理解（除零空间外，向量空间是无限的，而向量组可以是有限的）。
生成子空间的概念及其生成子空间的表示。
（四）习题指导（习题3）
1． 1． 设2． 2
．
v1?(1,1,0),v2?(0,1,1),v3?(3,4,0)，求v1?v2及3v1?2v2?v3。
设
3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，其中
?1?(2,5,1,3),?2?(10,1,5,10),?3?(4,1,?1,1)，求?。
3． 3． 设?1,?2,...,?m是m个n维向量，试问：
（1）（1）若有m个数k1,k2,...,km存在，使得 k1?1?k2?2?...?km?m?0 那么?1,?2,...,?m是否线性无关？
解：主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解，若这组数至少有一个非零，则可判定线性相关。没有这一限制是没有意义的，因为全部取零系数，不管向量组是什么，上式总是成立的。因此，不能判断向量组的线性相关性。
（2）（2）若有m个不全为零的数k1,k2,...,km使得 k1?1?k2?2?...?km?m?0 那么?1,?2,...,?m是否线性相关？
解：定义中的组合式是“=”，改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。
（3）若?1,?2,...,?m线性相关，则?1一定可由?2,...,?m线性表示吗？
解：相关性等价定义中是说：向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示，至于是那一个向量可由其它向量线性表示，则要以来于具体的向量组。不能断定?1一定可由
?2,?3,...,?m线性表示。
4． 4． 设?1,?2,...,?m与?1,?2,...,?m都是n维向量，下面的证明是否正确？ （1）（1）若向量组?1,?2,...,?m线性相关，向量组?1,?2,...,?m线性相关，则有不全
为零的数k1,k2,...,km，使得
k1?1?k2?2?...?km?m?0,k1?1?k2?2?...?km?m?0 由此推出
k1(?1??1)?k2(?2??2)?...?km(?m??m)?0 于是向量组?1??1,?2??2,....,?m??m也线性相关。
解：向量组线性相关，则存在一组的非零组合系数，这组组合系数是依赖于向量组的，
不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点，故是错误的。 （2）（2）若
k1?1?k2?2?...?km?m?k1?1?k2?2?...?km?m?0
只有当k1?k2?...?km?0时才成立，那么?1,?2,...,?m
,?1,?2,...,?m一定线性无关。
解：定义中的组合系数是独立的，上式中的系数不独立，只能推知
?1??1,?2??2,...,?m??m是线性无关的。
5． 5． 将向量?表示成?1,?2,?3的线性组合：
（1）?1?(1,1,?1),?2?(1,2,1),?3?(0,0,1),??(1,0,?2) 解：设??k1?1?k2?2?k3?3，按分量展开得到
k1?k2?1???k1?2k2?0??k?k?k??223 ?1
求解得到k2??1,k1?2,k3?1，即??2?1??2??3
（2）?1?(1,2,3),?2?(1,0,4),?3?(1,3,1),??(3,1,11)
解：设??k1?1?k2?2?k3?3，按分量展开得到用Gramer法则或用如下方法简化
?k1?k2?k3?3??2k1?3k3?1?3k?4k?k?1123?1
13??1113??1113??11??????2031~0?21?5~01?22???????34111??01?22??00?3?1???????
可知k3?1/3,k2?2?2/3?8/3,k1?0，即6． 6． 判断下列向量组的线性相关性：
???2??38313
（1）?1?(1,?1,1),?2?(0,4,2),?3?(2,2,4) 解
：
法
一
，
应
用
定
义
，
设
k1?1?k2?2?k3?3?0，即
k1(1,?1,1)?k2(0,4,2)?k3(2,2,4)?(k1?2k3,?k1?4k2?2k3,k1?2k2?4k3)?(0,0,0)
k1?2k3?0????k1?4k2?2k3?0?k?2k?4k?023?1110022得到方程组，系数行列式为
110224?142??144?0，不能用Gramer法则，由定理可知存在非零解。
事实上，由第一式知k1??2k3，代入其它方程得到
4k2?4k3?0 2k2?2k3?0
取k3?1，得到k2??1,k1??2，故??1?2?2??3?0，因此?1,?2,?3线性相关。 或者由定理知，系数行列式等于零，则齐次方程组有非零解，故向量组线性相关。 法二、这是三个三维向量，由定理知，向量组线性相关的充要条件是所组成的行列式等于零，因此只需求行列式即可。事实上，以向量为列所构成的行列式为
110224110022?142??144?0
故向量组线性相关。
（2）?1?(1,?1,0),?2?(2,1,1),?3?(1,3,?1) 法一、用定义，设
k1?1?k2?2?k3?3?0，展开方程所构成的齐次方程组的系数行列
式不等于零，故只有零解，由定义知
?1,?2,?3线性无关。 10211214??7?0，故向量组
?11法二，以向量为列构成的行列式为
3?031?101?1?1,?2,?3线性相关。
向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案
