第3讲 立体几何中的向量方法
「考情研析」 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为线面角、二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.
热点考向探究
考向1利用向量证明平行与垂直
例1 (1)(多选)(2024·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝23，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是( )
A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ B．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ C．当AR⊥A1C时，AR⊥D1R
D．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1
(2)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
①设F是棱AB的中点，证明：直线E1E∥平面FCC1； ②证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题．
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD； (3)平面PCD⊥平面PAD
考向2利用空间向量求空间角 角度1 利用空间向量求异面直线所成的角
例2 (2024·山东省济南市高三6月模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，1
AB⊥BC，AB＝AD＝2BC，将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90°，形成如图所示的几何体，其中M为
的中点．
(1)求证：BM⊥DF；
(2)求异面直线BM与EF所成角的大小． 角度2 利用空间向量求线面角
例3 (2024·山东省实验中学高考预测卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，
点F为棱PD的中点．
(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由； 2
(2)当二面角D－FC－B的余弦值为4时，求直线PB与平面ABCD所成的角． 角度3 利用空间向量求二面角
例4 (2024·山东省济宁市模拟)如图，三棱台ABC－A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若AA1⊥AB，AA1⊥A1C1，AB＝2A1B1＝4AA1.
→＝2DA→，AE→＝2EB→，证明：DE∥平面BCCB； (1)若CD111
π
(2)若二面角C1－AA1－B为3，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．
三种空间角的向量求法
(1)异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|.
(3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
1．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
2024届高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)专题5第3讲 立体几何中的向量方法
