初中数学竞赛专项训练
（命题及三角形边角不等关系）
一、选择题：
1、如图8-1，已知AB＝10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是 （ ） A. 4
B. 5
C. 6
D. 5(5?1)
2、如图8-2，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7， 则BC＋CD等于 （ ） A. 63
B. 53
C. 43
D. 33
3、如图8-3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为 （ ） A.
45 7C A B. 33
5D
P 图8-1
B
A C. 39
5D C
60° D. 15
2A B
E B D F C 图8-3 图8-2
4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，锐角的个数最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5、如图8-4，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 （ ）
E D A A D A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm
B F C C B C C. 4cm 23cm D. 5cm 23cm
图8-4
6、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a，b，b，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则 A.
3?1 2a的值等于 b5?1 2 C.
3?2 2（ ） D. D. 5
5?2 2B.
7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是 A. 0 B. 1 C. 3 8、若函数y?kx(k?0)与函数y? A. 1
二、填空题
B. 2
（ ）
1的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为 x C. k
（ ） D. k2
1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与＿＿＿＿＿＿
1 / 6
a?b的大小关系是＿22、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿
· E A′
C A B 图8-5
B′
A D B P 图8-6
D C B 图8-7
D 16 米 甲 A C 20米 乙 3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿
4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿
5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。
A 6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿
P 图8-8
C
三、解答题
1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜
B
1（AB+AC） 2
B
2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？
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A D 图8-9
C
3、如图8-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F。
求证：①四边形CEDF是正方形。
②CD2＝2AE·BF
C
F E A B
D
图8-10
4、从1、2、3、4……、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
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参考答案
一、选择题
1、如图过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G。
C G E
1 显然DG＝EF＝AB＝5，CD≥DG，当P为AB中点时，有CD＝DG＝5，
2A 所以CD长度的最小值是5。
2、如图延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE＝16，DE＝83，
D P F B
D 于是BE＝AE－AB＝9，在Rt△BEC中，可求得BC＝33，CE＝63，于
A 是CD＝DE－CE＝23 BC＋CD＝53。 3、由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF
60° C B E
1(AD?AB?BC?CD)?11 2AEDF? ∵EF∥BC，∴EF∥AD， EBFCAEDFk6kk4k 设 ??k，AE?AB?，DF?CD?EBFCk?1k?1k?1k?16k4k13k?313k?3 AD+AE+FD＝3+ ∴???11 解得k＝4
k?1k?1k?1k?1 ∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝
作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，
则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC－CH＝9-3＝6
∵
A E B G H
D F C EGAE44242439 ∴EF?EG?GF? ??，∴EG?BH??3?BHAB555554、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就是A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°。∵2（A+B+C）＜270°，A＋B＋C＜135°与A＋B＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A＋B＜90°，C＋A＜90°，∴A＋(A＋B＋C)<180°，即A+180°＜180°，A＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°，α＝50°，选A。
5、折叠后，DE＝BE，设DE＝x，则AE＝9－x，在Rt△ABC中，AB2＋AE2＝BE2，即
32?(9?x)2?x2，解得x＝5，连结BD交EF于O，则EO＝FO，BO＝DO
∵BD?92?32?310 ∴DO＝
22310 2?52?(31010)2? ∴EF＝22A Q D 4 / 6
B
C
在Rt△DOE中，EO＝DE?DO10。选B。
6、设△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，如图D是AB上一点，有AD＝b，因a>b，
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故∠A是△ABC的最小角，设∠A＝Q，则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与△ABC全等，所以DC＝b，∠ACD＝Q，因有公共底角∠B，所以有等腰△ADC∽等腰△CBD，从而得
BCBDba?ba2，即?，令x?，即得方程x?x?1?0，?ABBCabb解得x?a?b5?1。选B。 27、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3个，
又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。 8、A。设点A的坐标为（x，y），则xy?1，故△ABO的面积为
11xy?，又因为△ABO22与△CBO同底等高，因此△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1。
二、填空题
1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N，MN
＝d，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是
D A
P N C
aba?bBD的中点，连结MP、PN，则MP＝，NP＝，显然恒有d?，
222M
当AD∥BC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有
a?ba?ba?ba?b，所以d与的大小关系是d?d?(或?d)。
2222 ∵AB＝AA′ ∴∠AA′B＝∠AB A′＝∠CBD＝4x ∵∠A′AB＝ ∴
B
2、12°。设∠BAC的度数为x，∵AB＝BB′ ∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x
1(180??x) 21(180??x)?4x?4x?180?，于是可解出x＝12°。 23、以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、
（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+5＜9，3+5＜11，3+7＜11可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形
E A 三边长。
a 4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、G P CD于G、H。 b 设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d， B c F 则
D a H b d C AP2?a2?c2，CP2?b2?d2，BP?b?c， DP＝d?a2222222222
于是AP?CP?BP?DP，故DP?AP?CP?BP?3?5?4?18， DP＝32
5、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度
就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米。
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