北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题

证(一)若|f(x0)|?c,则存在?0?0,当|x?x0|??0时|f(x)|

故an有极限.设l?liman,则l?liman?1?limf(an)?f(liman)?f(l).n??n??n??n??25.设函数y?E(x)在(??,??)内有定义且处处连续,并且满足下列条件:E(0)?1,E(1)?e,E(x?y)?E(x)E(y).证明E(x)?ex(?x?(??,??)).证用数学归纳法易得E(x1?设n是正整数,则E(n)?E(1?E(n)?en.11111n对于任意整数n,E(1)?E(n)?E(n)E()?eE(),E()?en.nnnnm?1?m1?1?E()?E(m)??E()???en??en.即对于所有有理数r,E(r)?er.nn?n???对于无理数x,取有理数列xn?x,由E(x)的连续性,mm?xn)?E(x1)?1)?E(1)n?en.E(xn).于是E(nx)?E(x)n.1?E(0)?E(n?(?n))?E(n)E(?n)?enE(?n),E(?n)?e?n.于对于任意整数E(x)?limE(xn)?limexn?en??(ex的连续性)?ex.n??n??limxn