第五节 指数与指数函数
1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点． 3．了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要的函数模型．
知识梳理 一、指数 1．根式．
n(1)定义：如果xn＝a那么x叫做a的n次方根(其中n>1，且n∈N)，式子a叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质．
n①当n为奇数时，an＝a；
n
??a，a≥0，
a＝|a|＝?
?－a，a<0.?
n当n为偶数时，
②负数没有偶次方根． ③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念．
(1)正整数指数幂：an＝a·a·…·a (n∈N*)． n个a(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．
1－
(3)负整数指数幂：ap＝p(a≠0，p∈N*)．
a
mn
(4)正分数指数幂：an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)． m11
(5)负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
nmnaamn(6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质． (1)aras＝asr(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝asr(a＞0，r，s∈Q)． (3)( ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 二、指数函数的定义
形如 y＝ ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)．
三、指数函数的图象和性质
名称 指数函数 ＋
函数式 底数a的取值分类 定义域 值域 a>1 y＝ax(a>0且a≠1) 0 3 x3·y 1．化简(a，b为正数)的结果是( ) xy11A．x·y－ 361C．x·y 6 11B．x·y 261 D．x·y－ 6 －a1)； 若x>0，则0 313x·y 233111x3·y1 解析：＝＝x－·y－＝x·y－，故选D. 1122326xy xy22答案：D 2．函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是 ( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，2) B．(－2,2) D．(－2，－1)∪(1，2) 解析：0 1 2，?，则f(－1)＝__________. 3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点P??2?12?2?x，所以f(－1)＝?2?－1＝2. 解析：依题意＝a2，得a＝，所以f(x)＝ 22?2??2?答案：2 131311 4．(2012·济南模拟)若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x)＝________. 42422213131111 解析：(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x)＝4x－33－4x＋4＝－23. 42422222答案：－23 1．(2013·北京卷)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex 关于y轴对称，则f(x)＝( ) A．ex1 ＋ B．ex1 － C．e －x＋1 D．e －x－1 解析：与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到． ∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D. 答案：D 2．已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)随x的变化情况见下表： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1 (k－1，＋∞) ＋ ↗ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第五节指数与指数函数 文
