韩哥智慧之窗-精品文档
精练15函数模型与数学建模问题
1．【山东省菏泽市2019-2020学年高一上学期期末联考】为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如下图所示，在药
?1?物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y????16?据图中提供的信息，回答下列问题：
x?a（a为常数），根
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式.
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？
?10x,0?x?0.1?x?0.1 （2）0.6h 【答案】（1）y???1?,x?0.1?????16?【详解】
解：（1）依题意，当0?x?0.1时，可设y?kx，且1?0.1k，解得k?10
?1?又由1????16?0.1?a，解得a?0.1，
?10x,0?x?0.1?x?0.1所以y???1?；
,x?0.1???16????1?（2）令???16?a?0.1?1??0.25，即???4?2a?0.2?1，得2a?0.2?1，解得x?0.6， 4即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．
2．【吉林省梅河口市三校2019-2020学年高一上学期期末联考】2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥------港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥下的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时.研究表明：当20?x?220时，车流速度V是车流密度x的一次
韩哥智慧之窗-精品文档
1
韩哥智慧之窗-精品文档
函数.
（1）当0?x?220时，求函数V(x)的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f(x)?x?V(x)可以达到最大？并求出最大值.
?100，0?x?20?【答案】（1）V(x)??1；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最
?x?110，20?x?220??2大值为6050辆/时. 【详解】
解：（1）由题意，当0?x?20时，V(x)?100；当20?x?220时，设V(x)?ax?b.
1?a???V(20)?20a?b?100?因为?，解得?2
V(220)?220a?b?0???b?110?100，0?x?20?所以V(x)??1，
?x?110，20?x?220??2100x?，0?x?20?（2）由（1）得f(x)??12，
?x?110x，20?x?220??2 当0?x?20时，f(x)的最大值为f(20)?2000； 当20?x?220时，f(x)??1(x?110)2?6050，则当x?110时，f(x)的最大值为f(110)?6050. 2综上所述：当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
3．【云南省昆明市2019-2020学年高一期末质量检测】土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！” （1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，
韩哥智慧之窗-精品文档
2
韩哥智慧之窗-精品文档
但最短3年，最长不超过10年；③投资年数xx?N?*?与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种：
12方案一：当x?3时，y?6 ，以后x每增加1时，y增加2；方案二：y?x；方案三：y?3你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案. 【答案】（1）f?x??【详解】
（1）设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为f?x?元，
?3?.请
3xx?11?x?5,x?N*?；（2）答案见解析. ?xx?11?x?5,x?N*?， ?xx?11?1?，所以y?f?x?在?1,5?为单调递减函数. 因为f?x??xx由题意知：f?x??说明一次购买的斤数越多，单价越低；
（2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案. 由题意可知方案一对应的解析式为：y?6??x?3??2?2x.
列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论： 投资年数x 总回报y 方案一 方案二 3 4 8 5 6 7 8 9 10 6 3 3 10 25 312 12 14 16 18 20 16 334349 337364 338327 27 100 33 103方案三
353 9 当投资年数为3~5年时，选择方案一最佳； 当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳； 当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为10年时，选择方案三最佳.
4．400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，【广东省东莞市2019-2020学年高一期末】
大多数适宜的400米跑道两端被建成半径为35.00m到38.00m之间的半圆.我市某学校新建成的400米跑道
韩哥智慧之窗-精品文档
3
函数模型与数学建模问题2021年高一上学期数学期末考点(新人教必修)(解析版)
