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第四章 习题
2、平行板电容器（面积为S,间距为d）中间两层的厚度各为d1和d（，2d1+d2=d）介电常数各为?1和?2的电介质。试求：
（1）电容C；（2）当金属板上带电密度为??0时，两层介质的分界面上的极化电荷密度?'；（3）极板间电势差U;（4）两层介质中的电位移D； 解：（1）这个电容器可看成是厚度为d1和d2的两个电容器的串联：
C?C1C2???S?120
C1?C2?1d2??2d1（2）分界处第一层介质的极化电荷面密度（设与d1接触的金属板带正电）
'?1?P1?n??P1??0(?1?1)E1?(?1?1)?0?1
分界处第二层介质的极化电荷面密度：
'?2?P2?n??P2???0(?2?1)E2??(?2?1)?0?21
'''??1??2? 所以， ?1(?1??2)?0
?1??2(?1??2)?0
?1??2'''??1??2??若与d1接触的金属板带负电，则?1（3）U?E1d1?E2d2??0?(?d??2d1)?0 d1?0d2?12?1?0?2?0?1?2（4）D1??0?1E1??0，D2??0?2E2??0
4、平行板电容器两极板相距3.Ocm，其间放有一层??2.0的介电质，位置与厚度如图所示，已知极板上面电荷密度为?0?8.9?10?11c/m2，略去边缘效应，求: (1)极板间各处的P、E和D的值; (2)极板间各处的电势(设正极板处U0?0);
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(3)画出E-x，D-x，U-x曲线;
解：（1）由高斯定理利用对称性，可给出二极板内：
D??e?8.9?10?11c/m2（各区域均相同），
在0与1之间?r?1,P?0，E?D?0?1?102V/m
DD?4.45?10?10c/m2，E??50V/m ?0?r?0?r在1与2之间?0?2,P??0(?r?1)E??0(?r?1)在2与3之间，?r?1,P?0，E?（2）VA?0：
0-1区：V??E?dx?100x,
DxD?0?1?102V/m
1-2区：V??E?dx?50(x?x1),V?50(x?x1)?100x1?50x?0.5,x1?x?x2)
x1x2-3区：?V??E?dx?1000(x?x2),
x21x
V?50(x1?x2)?100x?100x2?100x?50x2?50x1,?100(x?0.005)?100x?0.5,(x2?x?x3)
题4图
6、一平行板电容器两极板相距为d,其间充满了两种介质，介电常数为?1的介质所占的面积为S1, 介电常数为?2的介质所占的面积为S2。略去边缘效应，求电容C。
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解：电容C等效为两个电容器的并联：
C?C1?C2??1?0S1d??2?0S2d??0(?1S1??2S2)d
9、在半径为R的金属球之外有一层半径为R'的均匀电介质层，设电介质的介电常数为?，金属球带电荷云为Q，求： (l)介质层内、外的场强分布： (2)介质层内、外的电势分布；
(3)金属球的电势。
解：（1）当r?R时，E?0，当R?r?R'时，E?Q4??0r2E0?Q4???0r2?
当r?R'时，E?
（2）介质层内的电势：
U内??E?dr??r?R'Q4???0rrdr??2?Q4??0rR'dr?21??1(?') 4???0rRQ（3）金属球的电势：
U电势??E?dr??R?R'Q4???0rRdr??2?Q4??0rR'dr?2Q4???0(1??1?') RR12、球形电容器由半径为R1错误!未找到引用源。的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为R2错误!未找到引用源。，其间有两层均匀电介质，分界面的半径为r，介电常数分别为?1错误!未找到引用源。和?2错误!未找到引用源。（见图4-27）。 （1）求电容C；
（2）当内球带电?Q时，求各介质表面上极化电荷的面密度?'e错误!未找到引用源。。
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解：（1）设导体球和导体球壳分别带电?Q，则它们之间的电势差
U12??E?dr??R1R2rQ4??1?0rR1dr??2R2Q4??2?0rrdr?2Q[?2R2(r?R1)??1R1(R2?r)]4??1?2?0rR1R2所以
C?Q4??1?2?0rR1R2? U12?2R2(r?R1)??1R1(R2?r)(2)第一层介质的内表面上束缚电荷面密度
?e(R1)??e1?0E1?(?1?1)?0介质分界面上束缚电荷面密度
Q4??1?0R12?(?1?1)Q 24??1R1?'(r)??(?1?1)Q(?2??1)Q(?2??1)Q ??4??2r24??2r24??1?2r2 错误!未找到引用源。
第二层介质的外表面上束缚电荷面密度
'?e(R2)???e2E21?Q(?2?1) 24??2R2
14、圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成的，圆筒的内半径为R2，其间充满介电常数为ε的均匀介质（见图4-29）。设沿轴线单位长度上导线的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应，求： （1）两极的电势差U；
（2）介质中的电场强度E，电位移D，极化强度P错误!未找到引用源。 （3）介质表面的极化电荷面密度错误!未找到引用源。；
（4）电容C（它是真空时电容C0错误!未找到引用源。的多少倍） 解：（1）在介质中取与导体同轴的半径为r，长为l的柱面为高斯面S，则
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??D?dS?D2?rl??l
S D??D?Rr;E??ln2错误!未找到引用源。 2?r??02???0R1R2R2U??E?dr?R1??R2错误!未找到引用源。错误!未dr?ln?2???2???R001R1找到引用源。
（2）由（1）已得出 D??D?r;E??r; 错误!未找到引用源。错误!2?r??02???0r?r 2??r未找到引用源。则P??0(??1)E?(??1)（3）介质表面的束缚电荷面密度
内表面：?'(R1)?P?n??P1?外表面：?'(R2)?P?n?Q?U(??1)?错误!未找到引用源。 2?R2(??1)?错误!未找到引用源。
2??R2（4） C??l?Rln22???0R1?2???0l??C0错误!未找到引用源。 R2lnR120、空气的介电强度为3.0?106V/m错误!未找到引用源。，铜的密度为8.9g/cm3错误!未找到引用源。，铜的原子量为63.75g/mol错误!未找到引用源。阿伏加德罗常数NA?6.022?1023mol?1错误!未找到引用源。，金属铜里每个铜原子有一个自由电子，每个电子的电量为1.6?10?19C错误!未找到引用源。 （1） 问半径为1.0cm的铜球在空气中最多能带多少电？
（2） 铜球所带电量最多时，求它所缺少或多出的电子数与自由电子总数之比； （3） 因导体带电时电荷都在外边面上，当铜球所带电达到最多时，求它所缺少
或多出的电子数与表面一层铜原子所具有的电子数之比。
[提示：可认为表面层的厚度为n?1/3错误!未找到引用源。，n为原子数密度。]
电磁学第四章答案解析全
