2021 高考数学一轮复习考点规范练：48 直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析）
基础巩固
1.平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0
)
C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0
D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0
答案:A
解析:设与直线 2x+y+1=0 平行的直线方程为 2x+y+m=0(m≠1).
因为直线 2x+y+m=0 与圆 x2+y2=5 相切,即点(0,0)到直线 2x+y+m=0 的距离为 5,
|m|
=
所以 5
5
,即|m|=5.
故所求直线的方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0.
2.(2019 河北衡水中学高三下学期大联考)已知圆 O1:x2+y2=4,圆 O2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),则“2 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:由于两圆相交的充要条件为 3 3. 已知圆 C:x +y -2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对称,则圆 C 中以 4 2 2 (a, - a4 为中点的弦长为( ) ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:∵圆 C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对称, ∴直线 3x-ay-11=0 过圆心 C(1,-2), ∴3+2a-11=0,解得 a=4, ∴ , - (aa4 4 即为(1,-1),点(1,-1)到圆心 C(1,-2)的距离 d= ) (1 - 1) + ( - 1 + 2) =1, 22 1 圆 C:x2+y2-2x+4y=0 的半径 r=2 aa4 + 16 = 5, , - )( 4.故选 D. ∴圆 C 中以 为中点的弦长为 2 r - d =2 5 - 1=22 4 4 4. 在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.5 2 B.10 2 C.15 2 D.20 2 答案:B 解析:圆 x2+y2-2x-6y=0 变形为(x-1)2+(y-3)2=10. 则圆心为 P(1,3),半径 r= 10. 22 因为点 E(0,1),所以|PE|= 1 + (3 - 1) = 5. =2 过圆 x2+y2-2x-6y=0 内点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,所以|AC|=2r=2 10,|BD|=2 r - |PE| 2 2 10 - 5=2 5,且 AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 S=2 × |AC|×|BD|=2 × 2 10 × 2 5=10 2. 1 1 5. 一束光线从点(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 . 答案:4 解析:作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C',如图所示. 则圆 C'的方程为(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆 C'的圆心坐标为(2,-3),半径为 1, 则最短距离 d=|AC'|-r= ( - 1 - 2) + (1 + 3)-1=5-1=4. 22x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则PA·PB= 6. 过点 P(1, 3)作圆 . 3 答案:2 解析:如图,∵OA=1,AP= 3, 又 PA=PB,∴PB= 3. ∴∠APO=30°. ∴∠APB=60°. 1 3 ∴ PA·PB=|PA||PB|cos60°= 3 × 3 × 2 = 2. 7.(2019 河北廊坊省级示范高中联考)已知直线 l:y=kx+2 与圆 C:(x-1)2+(y-4)2=10 相交于 A,B 两点,若|AB|=6,则 k= 3 . 答案:4 2|k - 2| |k - 2| . 3 k2 + 1 10 - 3 2 解析:设点 C(1,4)到直线 l 的距离为 d,则 d= =1.因为 d= k+ 1 ,所以 =1,解得 k=4 8.(2019 云南昆明调研)若过点(1,1)的直线与圆 x2+y2-6x-4y+4=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 . 答案:4 1 解析:由题意知,圆 x2+y2-6x-4y+4=0 的圆心为(3,2),半径 r=2 × 36 + 16 - 16=3. 22 =2 因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离 d= (3 - 1) + (2 - 1) = 5,所以|AB|的最小值|AB|min=2 r - d 2 2 × 9 - 5=4. 9.已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1) 求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; 设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|= 17,求直线 l 的倾斜角. 证明将已知直线 l 化为 y-1=m(x-1); (2) (1) 故直线 l 恒过定点 P(1,1). 2 2 因为 1 + (1 - 1) =1< 5, 所以点 P(1,1)在已知圆 C 内,从而直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (2) C 到直线 l 的距离为 d= 解圆的半径 r= 5,圆心 | - m| 2 2 r - ( ) |AB| 2 2 = 2 .3 由点到直线的距离公式得 m+ ( - 1)2 = 3 2 , 或 .解得 m=± 3,故直线的斜率为± 3,从而直线 l 的倾斜角为3 3 π 2π 10.(2019 河北衡水中学高三模拟)已知圆 C 经过原点 O(0,0)且与直线 y=2x-8 相切于点 P(4,0). (1) 求圆 C 的方程. (2) 在圆 C 上是否存在两个点 M,N 关于直线 y=kx-1 对称,且以线段 MN 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 MN 的 方程;若不存在,请说明理由. 1 解:(1)由已知,得圆心在经过点 P(4,0)且与 y=2x-8 垂直的直线 y=-2x+2 上,它又在线段 OP 的中垂线 x=2 上,所以求 得圆心 C(2,1),半径为 5.所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (2)假设存在两点 M,N 关于直线 y=kx-1 对称,则 y=kx-1 通过圆心 C(2,1),求得 k=1,所以设直线 MN 为 y=-x+b,代入圆的方程得 2x2-(2b+2)x+b2-2b=0,设 M(x1,-x1+b),N(x2,-x2+b), 则OM·ON=2x1x2-b(x1+x2)+b2=b2-3b=0,解得 b=0 或 b=3,这时 Δ>0,符合题意,所以存在直线 MN 为 y=-x 或 y=-x+3 符 合条件. 能力提升 11.(2019 广西柳州高三模拟)已知直线 ax+y-1=0 与圆 C:(x-1)2+(y+a)2=1 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等腰直角三角形,则实数 a 的取值为( 1 ) A.-1 或2 B.1 或-1 C.2 或-2 D.1 答案:B π = 4 解析:由题意可知△ABC 为等腰直角三角形,∴圆心 C(1,-a)到直线 ax+y-1=0 的距离 d=sin 2 |a - a - 1| 1 + a2 2 ,即 = 2 2 ,整 理得 1+a2=2,即 a2=1,解得 a=-1 或 1,故选 B. ≥12. 已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA + OB| 3 3 |AB | k 的取 ,则 值范围是( ) B.[ 2,+∞) C.[ 2,2 2) D.[ 3,2 2) A.( 3,+∞) 答案:C 解析:设 AB 中点为 D,则 OD⊥AB,
2021高考数学一轮复习考点规范练48线与圆、圆与圆的位置关系(含解析)
