三、温度场泛函（与傅里叶导热微分方程等价的泛函表达式）
一般来说，泛函可根据物理学原理（如熵的最大化，能量最低原量等）或者由微分方程推导而来，具体的推导过程已超出了课程的范围。
对于一个二维稳态温度场，函数族T(x,y)所构成的泛函: 式中D表示温度场所对应的积分区域。
对于一个二维非稳态温度场，函数族T(x,y,t)所构成的泛函，理论上: 但实际上，目前非稳态温度场的处理并不采用上式，而是先把t（或常数（即先把非稳态温度场作为稳态温度场处理），然后将
?T）当作?t?T用一价差商代替。 ?t泛函J的形式与原微分方程及其边界条件密切相关，原微分方程和边界条件决定泛函J的形式。（原微分方程决定了泛函在区域内部的积分式，边界条件决定了泛函在区域边界上的积分式）
1．一般形式傅立叶方程所描述的温度场的泛函 微分方程的一般形式
其中：q'表示单位体积内热源的发热强度；
kx，ky，kz表示不同坐标方向上的导热系数，且导热系数随温度不同亦即随坐标位置（x,y,z）不同而变化。
边界条件的一般形式可表示为
其中：h为综合换热系数； T∞是环境温度；q为单位边界表面上的热流强
度；cos?,cos?,cos? 分别为边界曲面S外法线的方向余弦。
与上述二式对应的泛函
2．无内热源三维稳态温度场,但kx?ky?kz时，泛函
由于q’=0,?T?t?0,故
3．无内热源三维稳态温度场的泛函，且kx=ky=kz?k (并且是一常数) 1) 若同时具备第三类边界条件，即（对流和辐射换热边界条件）
?Th?T为边界外法线方向上的温度梯度 ??T?T???0，
?nk?n其中:h,k,T?是常数
2）若具备第二类边界条件（边界上热流已知）
?Tk?q?0,则此时h?T?T???0 ?n3）若具备第一类边界条件（表面温度已知）
Ts?f?x,y,z? 则h?T?T???0,q?0
因为在这种边界条件下,边界上温度是固定的，边界上的积分为常数，其变分为零，因而在泛函J中没有与Ts有关的项。 4．无内热源二维稳态温度场，且kx=ky=k (并且是一常数) 1）若具备第三类边界条件：
???T?2??T?2??h22h?J[T(x,y)]??????dxdy?T?TT???ds（改） ???????k?x?yk??????D????教材p117写作
k 两者差一常数,完全等价。
2 2）若具备第二类边界条件： 3）若具备第一类边界条件：
四、网格剖分
网络剖分亦称为时空离散化，就是将时间和空间分割成若干有限的小单元。 （一）时间离散化
对于稳态导热问题，只涉及空间的剖分。而对于非稳态导热问题，目前对这类方程的泛函变分问题尚未很好解决，通常的处理方法是在空间域内用有限单元网格划分，而在时间域内则用有限差分网格划分（即：有限元法处理空间变量，有限差分法处理时间变量）。具体而言，有两种处理方式（两种处理方法得到的结果完全相同）：
(1) 令时间变量暂时固定，即先考虑在某一瞬间对泛函变分，然后再考虑t的变化，把?TTn?Tn?1用差分展开为（亦可采用其它差分格式）。 ?t?tnn?1T?T(2) 先把?T用差分展开为（亦可采用其它差分格式），然后进
?t?t行泛函变分运算，而在变分运算过程中，把Tn?1与?t均作为常量处理（Tn?T，即Tn作为变量）。 （二）空间离散化
有限元法（Finite Element Method ，简称FEM），它的最大特点是单元形状和疏密程度可以任意变化，因而对具有复杂几何形状和条件的物体极为适用。 1．网格剖分的规则
从理论上说，有限元法可以采用多种形状的多边形或多面体网格单元，但是通常以三角形和四边形单元用得最多。平面温度场计算一般取三角形网络，三角形的形状和疏密程度可任意变化，对复杂形状的物体尤其能显示其优点。 网格剖分的规则：（结合课本P115图讲解规则的应用）
（1）一个单元中只能包含一种材料。
（2）不能把一个三角形的顶点取在另一个三角形的边上。
（3）把求解区域划分为内部单元和边界单元，规定边界单元只能有一条边
落在边界?上（注意：对曲线边界，实际是两个节点落在边界上）。求解区域的边界为曲线时，剖分时用直线代替，并取为三角形单元的一边。
（4）三角形的三条边的长度不宜相过大，图为计算精度受单元最长边长与
最短边长之比值的控制。
2．单元和节点编号规则
为了减少失误，提高计算效率，便于计算机实现。单元和节点编号有一定规则：
（1）单元编号规则（结合课本P115图讲解规则的应用）
单元分为两大类：内部单元，边界单元 单元编号规则：
先编内部单元后编边界单元，一、二、三类边界单元依次编排。（原因是单元体泛函由依序由简单到复杂，有助于简化总体合成后矩阵方程中的系数矩阵，从而提高算法效率。其原因仍然有待进一步深入思考）
记作：①②③④⑤… （2）节点编号规则
每一个节点分别有两个序号：局部序号，全局序号
节点全局序号编号规则：（结合课本P136图讲解规则的应用）
依序编排，力求使邻近节点的编号尽可能接近，尤其是同一单元中三个节点的编号相差不宜太大。（原因：合理地编排节点全局序号，可以使得总体合成后矩阵方程中的系数矩阵有规则地分布在主对角线附近相对狭小的宽度内，构成所谓带状矩阵。这种对称正定带状矩阵对利用消去法求解极为有利，有助于大大提高算法效率。） 记作：1，2，3，4… 节点局部序号编号规则：
(Ⅰ)内部单元：i，j，m按逆时针方向依次编排，起始位置可以是任意
的；
(Ⅱ)边界单元：对于三角形单元，节点i与边界相对（即内节点），i，
j，m逆时针方向依次编排；对于其他多边形单元，保证j，m落在边界上。
记作：i，j，m，…
五、单元分析
1. 温度插值函数
温度插值函数实际上就是里兹法试探函数（近似函数）的变形。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐
标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 单元内部的温度插值函数
设三角形单元e上的温度Te是x，y的线性函数，即
ee,a3其中：a1e,a2为待定系数
将节点坐标及温度代入得
写成矩阵形式：
ee,a3利用矩阵求逆的方法，可以解出待定系数a1e,a2
式中：?为三角形单元的面积，其值为
（为了使面积不为负值，故要求节点的局部序号i,j,m必须按逆时针方向排列）
将<2>式代入<1>式，得
1eeeeeeeeeeee?<3> ?(a?bx?cy)T?(a?bx?cy)T?(a?bx?cy)Tiiiijjjjmmmm???2?上式通常可以简写成
1e?eeeN?(a?bx?cy)iiii?2???Tie??Ne?1(ae?bex?cey)jje?j2?j??,?T???Tje? 式中 ?1e?e?Te?eeN?(a?bx?cy)?m?m?m2?mm?eeee??N?NNN???ijm???eNie,Nej,Nm称为形状因子，形状函数或简称形函数。
单元边界上的温度插值函数
〈4〉式适用于整个单元区域，对于单元边界当然也是适用的，但是，根据线性插值的概念，既然单元边界jm上两节点的温度分别为Tje和Tme，那么直线jm上任意一点的温度Te应在Tje和Tme之间呈线性变化，而与Tie无关，这样在边界上就可以构造一个更加简单的插值函数
式中g为一参变量，g?[0,1]；g=0对应于节点j，g=1对应于节点m。 边界弧长（积分变量）s与参变量g的关系
显然jm的边长Sie是一个已知数
而曲线积分中的边界弧长变量s与Sie间的关系可利用g联系起来 2. 单元变分运算（即普通多元函数偏导数计算） 二维稳态温度场单元变分计算
（实际上可理解为偏导计算，因为用温度插值函数代泛函以后，泛函实际上已经成为一个普通多元函数）
e2e2??????k?T?T?1ee2e?Jb[Te(x,y)]??????dxdy?h(T)?hTT????ds <1> ????jm2???x???y???2?e??（我不成熟的理解：泛函表达式的第二部分原来也是对整个单元的面积分，但是被积函数只有在边界上才有非零值，所以转换成了边界的线积分）
泛函表达式的第二部分,对整个求解区域而言，边界一般是封闭的，记作“??”；然而对某个单元而言，边界一般是不封闭的，记作“?ee?JbT??x,y???实际上变成了普通多元函数
jm”。
将三角形单元内部的插值公式以及边界上的插值公式代入泛函，泛函
eee?Jb?Jb?Jb求e，e，e可以采用两种方法：
?Tj?Ti?Tmeee?Jb?Jb?Jb(1) 先将插值公式代入<1>式，然后再求e，e，e
?Tj?Ti?Tme2e2??k??T???T??1ee2e?Q Jb[Te(x,y)]??????dxdy?h(T)?hTT????ds <1> ???y??jm22?x???????e??? 单元内部插值函数： 单元边界插值函数： 积分变量的转换：
接下去，重点看下列推导过程的后半部分。 同理：
写成矩阵形式
e???Jb?e???Ti??keiie????Jb??e?e???kji??Tj??ke??Je??mi?be????Tm??ekijkejjekmje??Tie??pie?kimeee??e??e? <2> keT?p?KT?P???????j?jm??j?ee??e???kmm??Tm??pm?其中
(2) 先推导变分公式，再将插值函数代入
?Te?f(u)?f(u)?u?g令u?，则 ?Tie?u?Tie?xee?Jb?Jb同理可求得，（后续推导略） ee?Tj?Tm
★★★★★有限元法的讲解
