双曲线及其标准方程教案
段文良
学生姓名： 年级： 辅导科目： 教 师： 授课时间 课 题 教学目标 重点、难点 课前分析 2014年 月 日 掌握双曲线的标准方程及几何性质 掌握双曲线的定义及其标准方程，明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导双曲线的标准方程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系，熟悉求曲线方程的一般方法。培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法 深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。 回忆双曲线的定义，求双曲线标准方程及推导双曲线的标准方程 一、 教学提纲 一、基本知识概要： 1.双曲线的定义 第一定义：平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于2a(2a?|F1F2|)的点的轨迹，即点集?P|（2a?F1F2为两射线；2a?F1F2无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左PF1?PF2?2a。?-右为右支，上-下为下支等。 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数(e?1)的动点的轨迹。即点集????PF1PF2?e?1?，一个比产生整条双曲线。 ?e?1?=?P|?P|dd21???? 2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2aby2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab图形 性 质 焦点 F1（-c,0)，F2（c,0) F1（0,?c)，F2（o,c) 焦距 范围 对称性 顶点 轴 准线 | F1F2|=2c a2?b2?c2一个Rt? |x|?a,y?R |y|?a,x?R 关于x轴，y轴和原点对称 （-a，0）。（a，0） （0，-a）（0，a） 实轴长2a，虚轴长2b a2x?? ca2y?? c渐近线 xyb??0?y??x abaxya??0?y??x babx2y2共渐近线的双曲线系方程2?2?k或aby2x2??k(k?0) 22ab焦半径 P在右支上， r1?PF1?ex?ar2?PF2?ex?aP在上支上， r1?PF1?ey?ar2?PF2?ey?a P在左支上，r1?PF1??(ex?a)r2?PF2??(ex?a)P在下支上， r1?PF1??(ey?a)r2?PF2??(ey?a) PFmin?c?a 平面几何性质 e?c(e?1)，e大开口大 a
离心率 a22a2,准线间距=,焦渐距=b。 焦准距p?cc说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。 求双曲线标准方程常用的方法是定义法;待定系数法或轨迹方程法。 (3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。 x2y2y2x2利用共渐近线的双曲线系2?2?k或2??k(k?0)方程解题，常使解法简捷。 2abab(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为ex0?a,(ey0?a);当点P在左支（或下支）上时为?(ex0?a),[?(ey0?a)];利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用， 3.离心率问题： 4.焦点三角形问题： 5.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。
二、例题： 例1：根据下列条件，求双曲线方程： x2y2??1有共同渐近线，且过点(?3,23)； (1) 与双曲线916x2y2??1有公共焦点，且过点(32,2)。 (2) 与双曲线164x2y21???(??0)，将点(?3,23)代入得??， 【解】：（1）设所求双曲线方程为9164x2y21??。 所以双曲线方程为9164x2y2??1，将点(32,2)代入得k?4， （2）设双曲线方程为16?k4?kx2y2??1。 所以双曲线方程为128【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。 x2y2??1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 例2：在双曲线169【解】：设P点的坐标为(x,y)，F1,F2分别为双曲线的左，右焦点。 ∵双曲线的准线方程为x??|PF1||PF2|16?。 ∴ ∵|PF1|?2|PF2| ∴P在双曲线的右支上。 ∴16165|x?||x?|552|PF2||PF2|x2y24848348??1得y??119。 所以，P点的坐标为（? ∴x?。把x?代入方程，16161695555x?x?55?3119） 5【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了. 例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。 解：设点P的坐标为（x,y），依题意得yx?2,即y??2x(x?0)。 （1） 因此，点P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得PM?PN?MN?2
?PM?PN?2m?0,?0?m?1， x2y2?1 （2） 因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2m的双曲线上，故2?m1?m2m2(1?m2)22?1?m?0,?1?5m?0 将（1）代入（2），并解得x?，21?5m2 解得0＜m?555,0)?(0,)。 ，即m的取值范围为(?555【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。 x2y2例4：已知双曲线2?2?1的离心率e?1?2，左，右焦点分别的为F1,F2，左准线为l1，能否在双曲线的左支ab上找到一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项。 【解】：设在左半支上存在点P，使|PF1|2?|PF2|d，由双曲线的第二定义知|PF1||PF2|??e，即d|PF1||PF2|?e|PF1| ① 再由双曲线的第一定义，得|PF2|?|PF1|?2a ② 由①②，解得： |PF1|?2a2ae ,|PF2|?e?1e?12a2ae??2c ③ e?1e?1由在ΔPF1F2中有 |PF2|?|PF1|?2c， ?利用e?c2，从③式得e?2e?1?0 解得1?2?e?1?2 a?e?1?1?e?1?2，与已知e?1?2矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。 【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。 y2x2??1的上支有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3)，它们与点F（0，5）的距离成等差数列例5．如图，在双曲线1213（1） 求y1?y3的值 （2） 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标 解：（1）c?12?13?5,故F双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e， 由题设有2FB?FA?FC （1）
【人教版】中职数学(拓展模块)：2.2《双曲线》教案设计
