2020年高考诊断性测试
数学参考答案
一、单项选择题
1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C 二、多项选择题
9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题
13. ?3+2342x?4y，43 14.15. 16. 300 125
四、解答题
17．解：（1）因为2acosA?3(bcosC+ccosB)，由正弦定理得
所以2sinAcosA?3(sinBcosC?sinCcosB), …………………………1分
即 2sinAcosA?3sin(B?C)， …………………………2分 又B?C???A，所以sin(B?C)?sin(??A)?sinA
所以2sinAcosA?3sinA， …………………………3分 而0?A??，sinA?0 所以cosA? 所以A? （2）因为S?ABC3， 2?611?bcsinA?a?hBC …………………………5分 223c1代入，得a?. …………………………6分
32. …………………………4分
将b?23，hBC?3，sinA?222由余弦定理得a?b?c?2bccosA，
于是(3c23)?(23)2?c2?2?23?c， …………………………8分 322即 c?9c?18?0，解得c?3或c?6. …………………………10分
1
18．解：设等比数列?bn?的公比为q（q?0），则b1?
8
，b3?8q， q
于是
8?3?8q?4， …………………………2分 q212，q??（舍去）. …………………………4分 234?3若选①：则a1?b4?2，S4?4a1?d?20，
2解得d?2， …………………………6分
n(n?1)所以Sn?2n??2?n2?n， …………………………8分
2即6q?q?2?0，解得q?1111???， …………………………9分 Snn(n?1)nn?1于是Tk?令1?111111111??L+?(1?)?(?)?L?(?)?1? ……10分 S1S2Sk223kk?1k?1115?，解得k?15，因为k为正整数，所以k的最小值为16. ……12分 k?1163?2若选②：则a1?b4?2，3a1?d?2(a1?2d)，解得a1?d?2.
2下同①.
若选③：则a1?b4?2，3(a1?2d)?(a1?3d)?8，解得d?
于是Sn?2n?4
. ………………6分 3
n(n?1)4224??n?n， …………………8分 2333131311???(?)， ……………………9分 Sn2n(n?2)4nn?231111111[(1?)?(?)?L?(?)?(?)] 4324k?1k?1kk?23111?(1???) 42k?1k?29311??(?)， ………………………………………10分 84k?1k?215111令Tk?，得??，
16k?1k?24注意到k为正整数，解得k?7，所以k的最小值为7. ………………………12分
于是Tk?
19．解：（1）证明：延长EG交BC于点D,点D为BC的中点，
因为D,E分别是棱BC,AB的中点,
所以DE是?ABC的中位线，所以DE//AC， …………………………2分
2
又DE?平面PAC，AC?平面PAC，
[来源:Z.xx.k.Com]
所以DE//平面PAC.
同理可证EF//平面PAC. ………………………………………3分 又DEIEF?E，DE?平面DEF,EF?平面DEF，
所以平面DEF//平面PAC， ……………………………………4分 因为GF?平面DEF，所以GF//平面PAC. ………………………………5分 （2）连接PE，因为PA?PB，E是AB的中点，所以PE?AB，
又平面PAB?平面ABC，平面PABI平面ABC?AB，PE?平面PAB，
所以PE?平面ABC.
uuuruuuruuuruuur以E为坐标原点，以向量EB,EP所在的方向分别作为y轴、z轴的正方向，以与向量EB,EP垂直的
方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E?xyz. ………6分
设EB?1，则E(0,0,0)，P(0,0,1)，F(0,,)， G(112231,,0)， 62uuuruuuruuur311111FE?(0,?,?)，FG?(,0,?)， FP?(0,?,). ……………………7分
622222设平面EFG的一个法向量为m?(x,y,z)，
uuur???y?z?0?mgFE?0则?uuu，即?， r???x?3z?0?mgFG?0令z?1，得y??1，x?3，于是取m?(3,?1,1) …………………………9分
又平面PFG的一个法向量为n?(x1,y1,z1) ，
zPFAxEGCDByuuur???x1?3z1?0?ngFG?0则?uuu，即?， r???y1?z1?0?ngFP?0令y1?1，得z1?1，x1?3，
于是取n?(3,1,1) ………………………………………………11分 设平面EFG与平面PFG的所成的角二面角的大小为?，
3
则cos??cos?m,n??mgn33??. mn5?553. ………………12分 5所以平面CFG与平面EFG的所成的锐二面角的余弦值为
20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为
130?110?90?110?100?60?0.6，
1000故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分
（2）由题意得列联表如下：
女性 150 270 …………3分
男性 不太了解 250 比较了解 330 1000?(250?270?330?150)2?5.542 …………………5分 K的观测值k?400?600?420?5802因为5.542?3.841
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分
随机变量?的所有可能取值为0,1,2,3，
031221CnCnCn?6C4?6C4?6C4其中P(??0)?，P(??1)?,P(??2)?,333Cn?10Cn?10Cn?103CnP(??3)?3?6, ………………9分
Cn?10所以随机变量?的分布列为
? P 0 03Cn?6C4 3Cn?101 12Cn?6C4 3Cn?102 21Cn?6C4 3Cn?103 3Cn?6 3Cn?10 4
0312213CnCCCCCC64n?6E???364?0?n?364?1?n??2?3?3?2 ………………10分3Cn?10Cn?10Cn?10Cn?10122133Cn?6C4?1?Cn?6C4?2?Cn?6?3?2Cn?10,
可得，6(n?6)?4(n?6)(n?5)?11(n?6)(n?5)(n?4)?(n?10)(n?9)(n?8)， 233(n?6)(n2?17n?72)?2(n?10)(n?9)(n?8)，
3(n?6)?2(n?10)，
解得n?2. …………………………………………12分 21．解：（1）由f(x)?0可得，a?1?lnx(x?0)， x1?x?(1?lnx)?lnx1?lnxx令h(x)?，则h?(x)?， ………………1分 ?22xxx，+?)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，故h(x)在当x?(0,1)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，当x?(1x?1处取得最大值， ………………3分 1?lnx要使a?，只需a?h(1)?1，
x故a的取值范围为a?1， ………………4分
1?lnx显然，当a?1时，有?1，即不等式lnx?x?1在(1,??)上成立，
xn?1n?1n?11令x??1(n?N?)，则有ln??1?，
nnnn23n?1111所以ln?ln?L?ln?1???L?，
12n23n111即：1???L??ln(n?1)； ………………6分
23n1?lnx1?lnx（2）由f(x)?g(x)可得，?a?(x?1)2ex，即a??(x?1)2ex，
xx1?lnx?lnx令t(x)??(x?1)2ex，则t?(x)?2?(x2?1)ex， ………………8分
xx，+?)时，t?(x)?0，t(x)单减， 当x?(0,1)时，t?(x)?0，t(x)单增，当x?(1故t(x)在x?1处取得最大值t(1)?1， ………………10分 又当x?0时，t(x)???，当x?+?时，t(x)???， ………………11分
所以，当a?1时，方程f(x)?g(x)有一个实数解；当a?1时，方程f(x)?g(x)有两个不同的实数
5
2020年4月8日山东省烟台市2020年高考诊断性测试高三烟台一模数学试题参考答案
