如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1， 则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a， 1＋3∴a＝. 2
∴椭圆M的离心率为＝
c22
＝3－1.
a1＋3
2
7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C3222
交于A，B两点，且直线l与圆x－px＋y－p＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线
4
l的斜率为________．
答案 ±
2 2
32?p??p?22222
解析 由题意得F?，0?，由x－px＋y－p＝0，配方得?x－?＋y＝p，
4?2??2?
p??所以直线l过圆心?，0?，可得|CD|＝2p，
?2?
若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
2∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k?x－?，
?2?
p?
p?A(x1，y1)，B(x2，y2)， p???y＝k??x－2?，??联立???y2＝2px，
2
2
?2p?p化为x－?p＋2?x＋＝0，
?k?4
2p所以x1＋x2＝p＋2，
k所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋由|AB|＝3|CD|，所以2p＋
2pk2
，
2p2＝6p，
k122
可得k＝，所以k＝±.
22
x2y21
8．(2018·郑州模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为，△ABCab2
16
的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD，OE，OM111
的斜率之和为1，则＋＋＝________.
k1k2k3
4
答案 －
3
c1
解析 由题意可得c＝1，＝，
a2
所以a＝2，b＝3， 椭圆C：＋＝1，
43
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
x2y2
x2y211
4
＋＝1，＋＝1，
343
x2y222
两式作差得
(x2－x1)(x2＋x1)
4
＝－(y2－y1)(y2＋y1)
3
，
(x2＋x1)4(y2－y1)14则＝－，＝－kOD，
3(y2＋y1)3(x2－x1)k1
1414
同理可得＝－kOM，＝－kOE，
k33k2311144
所以＋＋＝－(kOD＋kOE＋kOM)＝－.
k1k2k333
9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于
2
A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?
?y＝k?x－1?，???y＝4x22
得kx－(2k＋4)x＋k＝0.
2
2222
2k＋4Δ＝16k＋16>0，故x1＋x2＝2.
k4k＋4
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.
2
k4k＋4
由题意知2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
2
k因此l的方程为x－y－1＝0.
17
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
y0＝－x0＋5，??2则??x0－y0－1?2
?x0＋1?＝＋16，?2?
??x0＝3，解得?
??y0＝2
??x0＝11，
或???y0＝－6.
2
因此所求圆的方程为(x－3)＋(y－2)＝16或(x－11)＋(y＋6)＝144.
222
x2y2
10．(2018·天津)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为
ab5
，|AB|＝13. 3
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
c25222
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有2＝，又由a＝b＋c，可得2a＝3b.
a9
又|AB|＝a＋b＝13，从而a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.
94(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)， 由题意知，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)． 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|， 从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1. 由题意求得直线AB的方程为2x＋3y＝6，
?2x＋3y＝6，?
由方程组?
??y＝kx，
22x2y2
消去y，可得x2＝
6
. 3k＋2
xy??＋＝1，
由方程组?94
??y＝kx，
2
22
消去y，可得x1＝
. 9k＋4
2
6
由x2＝5x1，可得9k＋4＝5(3k＋2)，两边平方， 812
整理得18k＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－.
928
当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；
9
18
112
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．
251
所以k的值为－.
2
B组 能力提高
11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过π
顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛
2物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A．圆的一部分 C．双曲线的一部分 答案 D 解析 如图，
B．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
12．双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与C的左支相交于
M，N两点，若△MNF2的一个内角为60°，则C的离心率为________．
答案
3＋1
2
x2y2
解析 画出图形如图所示，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)．
ab
19
由题意得△MNF2是等边三角形，点M，N关于x轴对称，且|F1M|＝|F1N|＝2c，∠MF1N＝120°. ∴点M的横坐标为－c－2c·cos 60°＝－2c， 纵坐标为2c·sin 60°＝3c， 故点M(－2c，3c)．
x2y2
又点M在双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上，
ab3c4c3c∴2－2＝1，即2－22＝1， abac－a整理得4c－8ca＋a＝0， ∴4e－8e＋1＝0，
8±484±232解得e＝＝，
84∴e＝3±1， 2
3＋1
. 2
4
24
22
4
4c2222
又e>1，故e＝13．已知直线MN过椭圆＋y＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与
2|PQ|
MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
|MN|答案 22
解析 方法一 特殊化，设MN⊥x轴，
2b2|PQ|42
则|MN|＝＝＝2，|PQ|＝4，＝＝22.
a|MN|22
2b方法二 由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝2，|PQ|＝2b＝2，
2
2
2
2
x2
2
a|PQ|则＝22； |MN|
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k， 则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2
20
(全国通用版)2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文
