第2讲 圆锥曲线
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a，b，p的值．
例1 (1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为
2
，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一2
2
2
点与F关于直线y＝x＋4对称，则椭圆方程为( ) A.＋＝1 189
C.＋＝1或＋＝1 189918答案 C
解析 由题意知，＝当F在x轴上时，
x2x2
y2y2
B.＋＝1
918
x2y2
x2y2
D.＋＝1或＋＝1 8448
x2y2x2y2
ca2222
，得a＝2b＝2c， 2
x2y2
不妨设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab椭圆上任取点P(x0，y0)，取焦点F(－c,0)， 则PF中点M?
?x0－c，y0?，
2??2?
0
0
yx－c??2＝2＋4，
根据条件可得?yk＝??x＋c＝－1，
0
PF0
1
联立两式解得x0＝－4，y0＝4－c， 代入椭圆方程解得a＝32，b＝3， 由此可得椭圆方程为＋＝1.
189
同理，当F在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
189
(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)＋y＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．8 答案 A
解析 因为圆C：(x－1)＋y＝4的圆心为C(1,0)， 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y＝4x，
??y＝4x，由?22
??x－1?＋y＝4，?
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
y2x2
解得A(1,2)．
抛物线C2：x＝8y的焦点为F(0,2)， 准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
跟踪演练1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且
62渐近线方程为y＝±3x的双曲线的标准方程为( ) A．x－＝1
3C．y－＝1
3答案 D
解析 ∵＋＝1的焦点坐标为(0，±2)，
62∴双曲线的焦点为(0，±2)，可得c＝2＝a＋b， 由渐近线方程为y＝±3x，得＝3， ∴a＝3，b＝1，
2
2
2
22
y2x2
y2x2
B.－y＝1 3D.－x＝1 3
x2y2
2
2
y2x2
ab∴双曲线的标准方程为－x＝1，故选D.
3
(2)如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
2
y2
2
A．y＝9x B．y＝6x C．y＝3x D．y＝3x 答案 C
解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.
2
2
2
2
设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，
由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，
从而得a＝1，|FC|＝3a＝3. 13
∴p＝|FG|＝|FC|＝，
22
因此抛物线方程为y＝3x，故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝(2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝2
2
2
2
2
2
2
ca1－??.
a1＋??.
a?b?2??
ca?b?2??
x2y2b2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关
aba系．
3
x2y2
例2 (1)(2018·永州模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，Mab为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝3|OM|，则椭圆C的离心率为( ) A.
101055 B. C. D. 4653
答案 A
解析 因为|OA|＝|OF2|＝3|OM|， 所以∠F1AF2＝90°. 设|AF1|＝m，|AF2|＝n， 如图所示，由题意可得
Rt△AF1F2∽Rt△OMF2， |AF1||OM|1所以＝＝，
|AF2||OF2|3则m＋n＝2a，m＋n＝4c，
2
2
2
n＝3m，
2b222
解得m＝，n＝9m＝6b，
3
2
2
2b5?a－c?222
所以＋6b＝4c，即＝c，
33解得e＝＝222
ca10
，故选A. 4
x2y2
(2)(2018·全国Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐
ab近线的距离为( )
32
A.2 B．2 C. D．22
2答案 D
解析 由题意，得e＝＝2，c＝a＋b，得a＝b. 又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0， 所以点(4,0)到渐近线的距离为42＝22.
ca22222
4
思维升华 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( ) A．1－
33－1
B．2－3 C. D.3－1 22
答案 D
x2y2
解析 在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，且焦距|F1F2|＝2，
ab则|PF2|＝1，|PF1|＝3，
由椭圆的定义可知，2a＝1＋3，2c＝2，
1＋3c2得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝3－1.
2a1＋3
x2y2?2?(2)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点?a，0?且与双曲线C的一
ab?3?
条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若42
|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )
3A．y＝±2x C．y＝±2x 答案 B
解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率kl＝－，
B．y＝±3x D．y＝±4x
baaba?2?
直线l的方程为y＝－?x－a?，
b?3?
22
整理可得ax＋by－a＝0.
3焦点(c,0)到直线l的距离
d＝?ac－2a2??ac－2a2???3?3?????
a2＋b2＝
c，
则弦长为2c－d＝2
22c2－?ac－2a2?2
?3???42
c2
＝
3
c，
5
（全国通用版）2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文
