第九节 函数与方程
考纲解读
1、了解函数的零点与方程根的关系，判断方程根的存在性及根的个数 2、能够根据具体函数的图像，用二分法求相应方程的近似解. 命题趋势探究
函数思想与方程思想是密切相关的，作为中学最主要内容的函数思想方法应用，在高考中的考查力度有加强趋势；函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式出现，在今后的高考中，也将会加大考查力度. 知识点精讲
一、函数的零点
对于函数y?f?x?，我们把使f?x??0的实数x叫做函数y?f?x?的零点. 二、方程的根与函数零点的关系
方程f?x??0有实数根?函数y?f?x?的图像与x轴有公共点?函数y?f?x?有零点. 三、零点存在性定理
如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f?a??f?b??0
，那么函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?，使得f?c??0,c也就是方程f?x??0的根.
四、二分法
对于区间?a,b?上连续不断且f?a??f?b??0的函数f?x?，通过不断地把函数f?x?的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程f?x??0的近似解就是求函数f?x?零点的近似值. 五、用二分法求函数f?x?零点近似值的步骤
（1）确定区间?a,b?，验证f?a??f?b??0，给定精度?. （2）求区间?a,b?的中点x1.
（3）计算f?x1?.若f?x1??0,则x1就是函数f?x?的零点；若f?a??f?x1??0，则令b?x1（此时零点
x0??a,x1?）.若f?b??f?x1??0，则令a?x1（此时零点x0??x1,b?）
（4）判断是否达到精确度?，即若a?b??，则函数零点的近似值为a（或b）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
题型归纳及思路提示
题型33 求函数的零点或零点所在区间 思路提示 求函数f?x?零点的方法：
（1）代数法，即求方程f?x??0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数y?f?x?的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 例2.74 求下列函数的零点：
（1）f?x??x?2x?x?2; （2）f?x??x?324. x 分析：令函数f?x??0，因式分解或通分求方程f?x??0的根，得f?x?的零点. 解析：（1）有x?2x?x?2?0,得x322?x?2???x?2??0，所以?x?2??x2?1??0
所以x?2,x??1.故函数f?x?的零点是2,1,?1。
x2?4?x?2??x?2??0,所以?x?2??x?2??0，即x??2或x?2，4?0，所以（2）有x??0,得xxx故函数f?x?的零点是-2或2.
变式1 （2006天津理）函数f?x??2?3x的零点所在的一个区间是 （ ）
xA、??2.?1? B、??1,0? C、?0,1? D、?1,2? 变式2 设x0是方程lnx?x?4的解，则x0属于区间 （ ） A、?0,1? B、?1,2? C、?2,3? D、?3,4?
?1?变式3 设函数y?x与y????2?3x?2图像的交点为?x0,y0?，则x0所在的区间是 （ ）
A、?0,1? B、?1,2? C、?2,3? D、?3,4?
变式4 若a?b?c,则函数f?x???x?a??x?b???x?b??x?c???x?c??x?a?的两个零点分别位于区间 （ ）
A、?a,b?和?b,c?内 B、???,a?和?a,b?内 C、?b,c?和?c,???内 D、???,a?和?c,???内
题型34 利用函数的零点确定参数的取值范围
思路提示：本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
例2.75 已知函数f?x??ax?bx?cx?d的图像如图2—29所示，则 （ ）
32
A、b????,0? B、b??0,1? C、b??1,2? D、b??2,???
分析 找出f?x??0的零点，利用f?x?的零点及性质建立参数关系，得出参数范围. 解析 由图2—29可得f?0??0，故d?0，且f?x?有3个零点，故可设
f?x??ax?x?1??x?2??ax3?3ax2?2ax,比较已知f?x?的解析式，得b??3a,当x?2时，f?x??0,因此a?0,故b?0.故选A.
变式1 若函数f?x??a?x?a?a?0且a?1?有两个零点，则实数a的取值范围是 。
x变式2 （2011山东理16）已知函数f?x??logax?x?b?a?0且a?1?，当2?a?3?b
?4时，函数f?x?的零点x0??n,n?1?,n?N?，则n? .
变式3 （2012天津理14）已知函数y?x2?1x?1的图像与函数y?kx?2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
题型35 方程根的个数与函数零点的存在性问题 思路提示
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
例2．76 判断方程3x?x2?0的负实数根的个数，并说明理由.
分析 找区间?a,b?使得f?a??f?b??0，然后判定f?x?在区间?a,b?上的单调性，从而得到负实数根的个数.
解析 解法一：设f?x??3?x,因为f??1???x22?0,f?0??1?0,又因为函数f?x?的图像在??1,0?上3x连续不断，根据零点存在性定理可知，函数f?x?在??1,0?内有零点.又因为在???,0?上，函数y?3递增，y?x递减，所以f?x?在???,0?上单调递增，所以 f?x?
2x2在??1,0?内只有一个零点.因此方程3?x?0只有一个负实数根.
2解法二：如图2—30所示，在同一坐标系xOy中，作出函数y?3与函数y?x的图像，易知
xf?x??3x?x2,只有一个负零点，即方程3x?x2?0只有一个负实数根.
评注 如果y?f?x?在?a,b?上的图像时连续不断的曲线，且x0时函数y?f?x?在?a,b?上的一个零点，
a?b??不一定有f?a??f?b??0如f?x???x??.
2??变式1 已知函数f?x??ax?bx?c?a?0?，且f?x??x没有实数根，证明：是否f?f?x???x是否有
22实数根？
变式2 设M?xf?x??x,N?xff?x??x,证明：（1）M?N；（2）f?x?为单调函数时，是否有M?N?
变式3 对于定义域为?0,1?的函数f?x?，如果同时满足以下三条：
1对任意的x??0,1?总有f?x??0；○2f?1??1；○3若x1?0,x2?0,x1?x2?1,都有○
??????f?x1?x2??f?x1?+f?x2?成立，则函数f?x?为理想函数.
（1）若函数f?x?为理想函数，求f?x?的值域；
（2）判断函数g?x??2?1?x??0,1??是否为理想函数，并给与证明；
x（3）若函数f?x?为理想函数，假定存在x0??0,1?,使得f?x0???0,1?，且f?f?x0???x0，求证：
f?x0??x0.
变式4 （2012湖北理9）函数f?x??xcosx在区间?0,4?上的零点个数为 （ ）
2A、4 B、5 C、6 D、7
变式5 若函数y?f?x??x?R?满足f?x?2??f?x?,且x???1,1?时，f?x??1?x, 函数
2?lgx?x?0?，则函数h?x??f?x??g?x?在区间??5,10?上的零点个数为 （ ） g?x????1?x?0?A、13 B、14 C、15 D、16
变式6 （2012辽宁理11）设函数y?f?x??x?R?满足f??x??f?x?,f?x??f?2?x?，且当
?13?x??0,1?,f?x??x3,又函数g?x??xcos??x?,则函数h?x??g?x??f?x?在??,?
?22?上的零点个数为 （ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
?x?1(x?0)例2.77 已知f?x???，则函数y?f?f?x???1的零点个数是 （ ）
logx(x?0)?2A、4 B、3 C、2 D、1
分析 对于复合函数的零点问题，利用换元法与图像法综合求解.
解析 令t?f?x??Rf,则y?f?t??1.由图2—30（a）知，f?t???1,得t??2或知，x1??3,x2?1，对应图2—30（b）211,x3??,x4?2.因此函数y?f?f?x???1的零点个数是4，故选A. 42评注 本题通过换元后，得到函数f?x??t与y?f?t??1,同时做出t?f?x?与y?f?t?的图像.由
f?t???1得t的值（或范围），再由t?f?x?确定x的值（或范围），这时复合函数求零点个数问题的通
法，望掌握.
1?x?(x?0)?变式1 已知函数f?x??x3?3x2?1,g?x???,则方程 4x??x2?6x?8?x?0??g?f?x???a?0a?R?的解的个数不可能为 （ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
变式2 关于x的方程x?1?x?1?k?0，给出下列4个命题： 存在实数k，使得方程恰有2个不同的实数根；
存在实数k，使得方程恰有4个不同的实数根；
???2?22
【高中数学题型归纳】2.9 函数与方程
