清北学堂2014暑假集中培训课程模拟试题
三、
(1) 作用在杆上的作用力有：杆的重力、A点处铰链的约束力、B点处圆环的支持力N和摩擦力f。
杆的平衡条件是这些力的合力为零，以及力矩代数和为零，我们的目的是求图(a)所示位形达平衡时，杆与环之间的最小摩擦系数。
对于通过A点竖直轴，铰链的约束力(未知，也不是欲求的物理量)力矩和重力矩均为零，要使力矩之和为零，通过同一点B的支持力N和摩擦力f的合力必须位于通过杆的竖直平面内(即此面内杆与过A点的竖直线构成)，而且只需考察合力的垂直于杆的分力而不必考察沿杆的分量(即考虑了N?f 在杆方向分力，或不考虑此分力，会有相同的结论)。 设图示位置时正好已达到临界平衡状态，有f??minN
(2) 建立坐标：B为坐标原点，z轴垂直于环平面，x，y轴在环平面内，x轴为过B点(在环平面内)环的切线，y轴为BO 的方向，如图(b)所示。 为了确定矢量N、f的方向以及分量(Nx,Ny,Nz)、(fx,fy,fz),引入四个单位矢量：
ni，nN，nf，n，其方向分别沿杆、N、f方向和沿PO方向，如图(b)所示，设?PBA?? 则
cos??PB?ABR3R2?()22?23,sin??1313'
①
(3) 分析ni，nN，nf，n的方向，并用nx,ny,nz写出ni，nN，nf，n的表达式。
''ni：沿杆方向，有A→B为正方向
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ni?(cos?cos)?nx?(cos?sin)?ny?sin??nz ②
22n：沿PO方向，竖直向上为正方向，它与过A的竖直方向相同
'??n?sin??nx?cos??ny
n×ni为杆与过A点竖直向上轴线组成平面的法向。
''nN：在B点处环对杆支持力的单位向量，它既垂直于B点处环的弧长，(它在过半径OB，即过y轴，并垂直于环平面的一个平面内，此面必过z轴)，还垂直于杆(过B点)，由图(c),可写出
nN?sinr?ny?cosr?nz,N?N?nN ③ 其中r待定。
nf：它既垂直于杆ni(这是把摩擦力沿杆分为可以不给考虑的结果)，又垂直
nN，nf三者相互垂直，有人认为，因为A处为固定铰链，杆沿于nN，所以ni，杆方向不可能有运动趋势，摩擦力f不可能有沿杆方向分量。这种观点是错误的，这是因为在B处存在杆方向的相对运动趋势。
nf?fox?nx?foy?ny?foz?nz ，f?f?nf ④
222?foy?foz?1，(4) 利用ni?nN?0，ni?nf?0，nN?nf?0以及fox求解r，fox，foy，
foz
由ni?nN?0=?sinrcos?sin?2?cosrsin? 求得：tanr?tan? ⑤
sin(?2)由nN?nf?0=foysinr?fozcosr 求得：tanr?foz ⑥ foy由ni?nf?0=foxcos?cos?2?foycos?sin?2?fozsin?
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?cos?sin?2?foxf?f?cos?cos?ozsin??oxcos?cos?tanrsin? foy2foyfoy2?
fox1??(cos?sin?tanrsin?) ⑦ foycos?cos?22fox2f)?(oz)2) foyfoy2222?foy?foz?1=foy由fox(1?(2=foy(1?1cos2?cos2?2(cos?sin?2?tanrsin?)2?tan2r)
=
2foycos2?cos2?2(cos2?cos2?????cos2?sin2?tan2rsin2??2cos?sintanrsin??tan2rcos2?cos2)2222tan2?cos2?cos2sin2=
f2oycos2?cos2?2(cos2??tan?sin??2cos?tan?sin??2?sin222?2?2)
=
?22?2222?22?? cos?sin?tan?sin??2sin?sin?sin?cos????222?cos2?cos2sin2?222foy=
?2?2222?22?? sin?tan?sin??sin?sin?sin?cos????222?cos2?cos2sin2?222foy2foy?2?? 222sin?tan?sin??sin???2?22?2??cos?cossin222f?2?? 2oy=sin?tan???2?22?2??cos?cossin22=
2?foy?cos?2cos2sin2?2sin2?2 ⑧
?2?tan2?由此推出：
cos?cossin22 foy??sin2?tan2?2??www.qbxt.cn 北京清北学堂教育科技有限公司 第18页
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fox?foy1cos?cos?2?(cos?sin?2?tan?sin?
)?sin2 =sin(cos?sin?22sin2?tan?sin?sin?2) =cos?sin2sin2?2?tan?sin??tan2??2?tan2??2 =cos?sin2??tan2?
2cos?cossinsin?costan?222 foz?tanr?foy??????sinsin2?tan2?sin2?tan2?222???N?(N?sinr)?ny?(N?cosr)?nz
n?ni?(sin??nx?cos??ny)?(cos?cosnx?cos?sinny?sin?nz)
22=?(cos?sin?)nx?(sin?sin?)ny?(sin?cos?sin'????cos?cos?cos)nz
22?=?(cos?sin?)nx?(sin?sin?)ny?(cos?cos)nz ⑨ 2正如前面已指出，N，f的合力必处在杆与过A点竖直方向组成的平面内，即在n?ni的分量为零，即满足
'?(N?f)?(n?ni)?0?N?(n?ni)?f?(n?ni)?0 ⑩ ?代入N、f、n?ni，稍微整理得
?1N?2?1?tanr''''????tanrsin?sin??cos?cos? ??2??????????? ?2?2cos?sin?cos?(sin?tan?)?cos?cossinsin?sin??cos?cossin?cos??22222??????=
??1?f??sin2??tan2??2?
?利用11?tan2r?1?1tan2?sin2sin?sin2?2 以及tanr??2?2?tan2?tan?
sin?2www.qbxt.cn 北京清北学堂教育科技有限公司 第19页
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化简得：
????N?tan?sin?sin??cos?cossin?
22????2?22??=f?sin?cos?[cos?sin?cos?tan??cossinsin??cos]? ?2222??再代入θ=60°，tan??323 ，sin?? ，cos?? 得 21313N11341311???1.76
3f394最后得为保杆能平衡于此位置，杆与环之间的最小静摩擦系数为
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【试题及答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题五
