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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 二、教学目标
1．知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. 3．情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点
正确判定直线与平面的位置关系. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课
思路1.(情境导入)
一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?
思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题 ①什么叫做直线在平面内？ ②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况?
⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.
活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 a?α a∩α=A a∥α 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
（三）应用示例
思路1
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图2,
图2
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB?平面ABCD,所以命题③不正确； l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.
答案：B 变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.
图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C. 求证：l与a、b、c共面. 证明：如图4,∵a∥b,
图4
∴a、b确定一个平面，设为α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l,∴AB?α，即l?α. 同理b、c确定一个平面β，l?β, ∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面. 变式训练
已知a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQ?α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β. ∴P∈β，a?β，P?a.又P∈α，a?α，P?a, 由推论1：过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ?α.
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点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
思路2
例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.
图5
用符号语言表示为：若a∩b=A,b?α,则a?α或a∩α=A. 变式训练
若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.
图6
用符号语言表示为：若a与b异面,a?α,则b∥α或b∩α=A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 若直线a不平行于平面α,且a?α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线 分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交.
图7
例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.
答案：D 变式训练
不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A?α,给出以下三个命题：
①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.
其中真命题是_____________.
分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，
图8
其中真命题是①. 答案：① 变式训练
若直线a?α,则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线
A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线a?α,∴a∥α或a∩α=A.
如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.
图9
答案：A
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. （四）知能训练
已知α∩β=l,a?α且a?β,b?β且b?α,又a∩b=P.
高中数学2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案新人教A版必修2
