高考总复习对数与对数函数
【考纲要求】
1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质.
3.正确使用对数的运算性质;底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】
对数与对数函数 对数的概念 指对互化运算
对数运算性质 对数函数的图像与图象与性质
【考点梳理】
考点一、对数概念及其运算
xx
我们在学习过程遇到2=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念:
1.如果a?N?a?0,且a?1?,那么数b叫做以a为底N的对数,
b记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
?logN??aa?N
logaN?b?3.对数logaN?a?0,且a?1?具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即N?0; (2)1的对数为0,即loga1?0; (3)底的对数等于1,即logaa?1.
2.对数恒等式:
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数, logeN简记作lnN.
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.
ab?N
由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数
已知logaM,logaN?a?0且a?1,M、N?0? (1)loga?MN??logaM?logaN;
推广:loga?N1N2LNk??logaN1?logaN2?L?logaNk?N1、N2、L、Nk?0?
M?logaM?logaN; N?(3)logaM??logaM.
(2)loga(五)换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a≠1, M>0的前提下有: (1) logaM?log即b?loganb
Mn(n?R)
bn
n
令 logaM=b, 则有a=M, (a)=M,即(a)?M,
annbnMn,即:logaM?loganMn.
logcM(c?0,c?1),令logaM=b,
logcalogcM,
logca(2) logaM?b
b则有a=M, 则有 logca?logcM(c?0,c?1)
即b?logca?logcM, 即b?即logaM?logcM(c?0,c?1)
logca当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
logab?1(a?0,a?1,b?0,b?1).
logba考点二、对数函数及其图像、性质
1.函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内,
当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;
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