高考总复习对数与对数函数
【考纲要求】
1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质.
3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】
对数与对数函数 对数的概念 指对互化运算
对数运算性质 对数函数的图像与图象与性质
【考点梳理】
考点一、对数概念及其运算
xx
我们在学习过程遇到2=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念:
1.如果a?N?a?0，且a?1?，那么数b叫做以a为底N的对数，
b记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
?logN??aa?N
logaN?b?3.对数logaN?a?0，且a?1?具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N?0； (2)1的对数为0，即loga1?0； (3)底的对数等于1，即logaa?1.
2.对数恒等式：
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN.
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.
ab?N
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数
已知logaM，logaN?a?0且a?1，M、N?0? (1)loga?MN??logaM?logaN；
推广：loga?N1N2LNk??logaN1?logaN2?L?logaNk?N1、N2、L、Nk?0?
M?logaM?logaN； N?(3)logaM??logaM.
(2)loga(五)换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) logaM?log即b?loganb
Mn(n?R)
bn
n
令 logaM=b， 则有a=M， (a)=M，即(a)?M，
annbnMn，即:logaM?loganMn.
logcM(c?0,c?1)，令logaM=b，
logcalogcM，
logca(2) logaM?b
b则有a=M， 则有 logca?logcM(c?0,c?1)
即b?logca?logcM， 即b?即logaM?logcM(c?0,c?1)
logca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
logab?1(a?0,a?1,b?0,b?1).
logba考点二、对数函数及其图像、性质
1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内，
当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；
当0 (1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0) ??0(x?1)?(3)当a>1时，logax??0(x?1) ??0(0?x?1)???0(x?1)?当0?a?1时，logax??0(x?1) ??0(0?x?1)?【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化： (1)log28?3；(2)log19??2；(3)log33x?3； 1?1?4?1(4)5?625；(5)3?；(6)??3?4??23?2?16. 3?1?【解析】(1)2?8；(2)???9；(3)3?x； ?3?1(4)log5625?4；(5)log3??1；(6)log116??2. 34??【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决 问题的重要手段. 举一反三： 【变式】求下列各式中x的值： 2 (2)logx8?6 32(3)lg100=x (4)-lne?x (1)log64x??【解析】(1)x?(64)6?23?(4)1663?2316?423?(?)3136?4?2?121； 162； (2)x?8，所以x?(x)?(8)?(2)?2?x2 (3)10=100=10，于是x=2； (4)由?lne?x，得?x?lne，即e类型二、对数运算法则的应用 例2.求值 (1) log89·log2732 22?x?e2 所以x??2. 111?log3?log5 25893(3)log2(log232?log1?log436) 4(2)log6432?log22(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 2510??. 3395?2?3?2(2)原式=log262log25log32log53??10 【解析】(1)原式=log233?log332?25
高考总复习对数与对数函数知识梳理
