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高考总复习对数与对数函数知识梳理

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高考总复习对数与对数函数

【考纲要求】

1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质.

3.正确使用对数的运算性质;底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】

对数与对数函数 对数的概念 指对互化运算

对数运算性质 对数函数的图像与图象与性质

【考点梳理】

考点一、对数概念及其运算

xx

我们在学习过程遇到2=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.

(一)对数概念:

1.如果a?N?a?0,且a?1?,那么数b叫做以a为底N的对数,

b记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

?logN??aa?N

logaN?b?3.对数logaN?a?0,且a?1?具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即N?0; (2)1的对数为0,即loga1?0; (3)底的对数等于1,即logaa?1.

2.对数恒等式:

(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数,log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数, logeN简记作lnN.

(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.

ab?N

由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数

已知logaM,logaN?a?0且a?1,M、N?0? (1)loga?MN??logaM?logaN;

推广:loga?N1N2LNk??logaN1?logaN2?L?logaNk?N1、N2、L、Nk?0?

M?logaM?logaN; N?(3)logaM??logaM.

(2)loga(五)换底公式

同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a≠1, M>0的前提下有: (1) logaM?log即b?loganb

Mn(n?R)

bn

n

令 logaM=b, 则有a=M, (a)=M,即(a)?M,

annbnMn,即:logaM?loganMn.

logcM(c?0,c?1),令logaM=b,

logcalogcM,

logca(2) logaM?b

b则有a=M, 则有 logca?logcM(c?0,c?1)

即b?logca?logcM, 即b?即logaM?logcM(c?0,c?1)

logca当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

logab?1(a?0,a?1,b?0,b?1).

logba考点二、对数函数及其图像、性质

1.函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内,

当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;

当0

(1)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R (2)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)

??0(x?1)?(3)当a>1时,logax??0(x?1)

??0(0?x?1)???0(x?1)?当0?a?1时,logax??0(x?1)

??0(0?x?1)?【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化:

(1)log28?3;(2)log19??2;(3)log33x?3;

1?1?4?1(4)5?625;(5)3?;(6)??3?4??23?2?16.

3?1?【解析】(1)2?8;(2)???9;(3)3?x;

?3?1(4)log5625?4;(5)log3??1;(6)log116??2.

34??【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决

问题的重要手段.

举一反三:

【变式】求下列各式中x的值:

2 (2)logx8?6 32(3)lg100=x (4)-lne?x

(1)log64x??【解析】(1)x?(64)6?23?(4)1663?2316?423?(?)3136?4?2?121; 162;

(2)x?8,所以x?(x)?(8)?(2)?2?x2

(3)10=100=10,于是x=2;

(4)由?lne?x,得?x?lne,即e类型二、对数运算法则的应用 例2.求值

(1) log89·log2732

22?x?e2 所以x??2.

111?log3?log5 25893(3)log2(log232?log1?log436)

4(2)log6432?log22(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

2510??. 3395?2?3?2(2)原式=log262log25log32log53??10

【解析】(1)原式=log233?log332?25

高考总复习对数与对数函数知识梳理

高考总复习对数与对数函数【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数;2.掌握对数函数的概念、图象和性质.3.正确使用对数的运算性质;底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形
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