抽象函数性质解析专题
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数
总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的x?1与
1y?f(x?1)的定义域为[?2,3)，求函数y?f(?2)的定义域。
x1?2的范围等同。 x2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：(1)若函数
y?f(x?1)的值域为[?1,1]，求函数y?f(3x?2)的值域。
f(2)?
(2)函数f(x)的定义域为(0,??)，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y)且f(4)=2 ，则
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 解析式（可解性）：由抽象式求解析式问题——视材料三：设函数
总结：在所给的抽象式中紧紧围绕
。 f(x)为未知数，构造方程（组）
f(x)满足f(x)?f(x?1)?1?x……①(x?0且x?1)，求f(x)。 xf(x)，将其余的式子替换成f(x)，构造一个或几个方程，然后设法求解。
4、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关于直线 x?f(x)的图象关于x=a对称（自身对称）。
结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x材料四：设函数A、直线
a?b2对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，
?b?a对称（相互对称）。 2y?f(x)定义在实数集上，则函数y?f(x?1)与y?f(1?x)的图象关于 对称
y?0对称 B直线x?0对称 C直线y?1对称 D直线x?1对称
解法一（定义证明）： 解法二（图象变换法）： 解法三（特值代入法）：
已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。
5、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。 材料五：设y?f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x?1对称。证明
总结： 1、f(x?a)?f(x?b) ?y?f(x)的周期为T?
2、3、
y?f(x)是周期函数。
f(x?a)??f(x)?y?f(x)的周期为T?
1f(x?a)??y?f(x)的周期为T?
f(x)
4、f(x?a)??
1f(x)
?y?f(x)的周期为T?
5、
f(x?a)?6、
7、8、
1?f(x)?y?f(x)的周期为T?
1?f(x)1f(x?a)???y?f(x)的周期为T?
f(x)?11?f(x)f(x?a)??y?f(x)的周期为T?
1?f(x)f(x?2a)?f(x?a)?f(x) ?y?f(x)的周期为T?
6、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。 材料六：已知判断
总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
7、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。 材料七：（1）、设
y?f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b?R，都满足：f(a?b)?af(b)?bf(a)。
y?f(x)的奇偶性，并证明你的结论。
y?f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的a,b?[?1,1]，当a?b?0时，都有：
f(a)?f(b)?0。若a?b，试比较f(a)与f(b)的大小。
a?b（2）、已知函数
f(x)对任意实数x，y，均有f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，f(x)?0，
f(?1)??2，求f(x)在区间[－2，1]上的值域。
（3）、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式
f(a2?2a?2)?3的解.
。
课外练习：
1：如果f(x+y)=f(x)?f(y),且f(1)=2，则
f(2)f(1)?f(4)f(3)?f(6)f(5)??f(2004)f(2003)的值为_________。
2：已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x?R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____.
3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件：①存在x1≠x2，使得f(x1) ≠f(x2)；②对任何x和y，f(x+y)=f(x)?f(y)成立；求： （1）f(0)； （2）对任意值x，判断f(x)值的正负。
4、已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(xy)=f(x)?f(y)，且f(-1)=1, 当0≤x<1时，f(x)?在
?0,1?，(1)判断f(x)的奇偶性； （2）判断f(x)
?0,???上的单调性，并给出证明.
5、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f(m?n)22?f(m)?f(n)，且x?0时0?f(x)?1。
?，确定a 的范围；
（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1； （2）证明：f(x)在R 上单调递减；
（3）设A?{(x,y)f(x)?f(y)?f(1)},B?{(x,y)f(ax?y?2)?1,a?R}，若A?B?（4）试举出一个满足条件的函数
f(x)
1. 类一次函数型
例1：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2?R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)<0,f(1)=a判定〔-3，3〕上f(x)是否存在最值，若有请求出最值，若无说明理由.
例2. ：⑴已知函数f(x)定义域R，对任意的x、y?R，有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时， f(x)>1,⑴求证：f(x存在反函数. ⑵.若不等式f(a2+a-5)<2的解为 -3 2. 类反比例函数型 例：已知函数f(x)对任意的x>0, y>0都有f?xy?＝f?x?f?y?，且x>1时，f?x?<1,f?2?=⑴.求证：f?x?>0. ⑵. f?1 91?1?= ??x?f?x?⑶.f?x?是否存在反函数，说明理由. ⑷.若f?x?>9的解集为（m,n）求m+n. 3. 类指数函数型 例1.已知函数f(x)定义域R，满足①.x<0时，f?x?>1 ②. f(0)?0 ③.任意的x、y?R有 f(x+y)=f(x)f(y) ⑴.x>0时,0< f(x)<1. ⑵.判定f(x)的单调性. ③.解不等式f(x-6)f(x2-2x)?1.
抽象函数性质解析
