2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A如果同时有
随机事件和概率 第一节 基本概念
1、排列组合初步 （1）排列组合公式
?B
m!P? 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m?n)!nmnCm?A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为
m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!(m?n)!A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事
件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m3n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m3n 种方法来完成。 (4)一些常见排列
① 特殊排列 相邻 彼此隔开
顺序一定和不可分辨
② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题
?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事
件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
?A??Aii?1i?1??i
A?B?A?B，A?B?A?B
3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义 设?为样本空间，
列三个条件：
A为事件，对每一个事件A都有一个实数
P(A)，若满足下
1
1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1，
A2，?有
常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1° ??????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1
P(AB)为事件A发生条件下，事件B
P(A)P(AB)发生的条件概率，记为P(B/A)?。
P(A)定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A)
更一般地，对事件A1，A2，?An，若P(A1A2?An-1)>0，则有
??1,?2??n?，
?P(?2)??P(?n)?1。 nA，它是由?1,?2??m组成的，则有
P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?
An?1)。
（4）全概公式 设事件
2° P(?1)设任一事件
B1,B2,?,Bn满足
P(A)=
?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m)
1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)，
?mA所包含的基本事件数? n基本事件总数2°
则有
A??Bii?1n，
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式
P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。
此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式
设事件B1，B2，?，Bn及
nA满足
1° B1，B2，?，Bn两两互不相容，
P(Bi)>0，i?1，2，?，n，
2° 则
A??Bii?1，
P(A)?0，
，i=1，2，?n。
jP(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jj?1n
2
此公式即为贝叶斯公式。
（i?1，2，?，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，?，P(Bi)，
n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而B1，B2，?，Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性 设事件A、B满足
（这个性质不是想当然成立的）。
若事件
? ?
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验
互不影响的。
A发生与否与其他次试验A发生与否是
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用
p表示每次试验A发生的概率，
则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示nA出现k(0?k?n)次的概率，
，
P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的
重伯努利试验中
kA、B相互独立，且P(A)?0，则有
Pn(k)?Cnpkqn?k
k?0,1,2,?,n。
P(B|A)?所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件
（证明）
P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A)
随机变量及其分布 第一节 基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是
A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
由定义，我们可知必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明） 同时，?与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验
定义 我们作了n次试验，且满足 ?
每次试验只有两种可能结果，
X?X(?)??1，当正面出现??0，当反面出现称
X实际上是基本事件?的函数，即X=X(ω)。同时事件A包含了一定量的ω（例如古典概型中A包含了ω1，ω2，?ωm，共m个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。
定义 设试验的样本空间为?，如果对?中每个事件?都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X。
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的
为随机变量。又由于
X是随着试验结果（基本事件?）不同而变化的，所以XA发生或A不发生；
3
情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。
一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,?，
则称上式为离散型随机变量X出：
的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给
P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。也就
是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。
分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
F(x)的图形是阶梯图形，x1,x2,?是第一类间断点，随机变量X概率就是F(x)在xk处的跃度。
分布函数具有如下性质： 1° 0?在xk处的
Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。
显然分布律应满足下列条件： （1）pk?0，k?1,2,?，
F(x)?1, ???x???；
?F(x2)；
2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)3° F(??)（2）
?pk?1k?1??limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1；
x???x???。
4° F(x?0)（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有P(X日光灯管的寿命的概率表示。
定义 设X为随机变量，x是任意实数，则函数
?F(x)，即F(x)是右连续的；
?x)?0，不可能用分布率表达。例如
落在某个区间(a,b]内
5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。
X，P(X?x0)?0。所以我们考虑用X（3）连续型随机变量的密度函数 定义 设F(x)是随机变量
有
X的分布函数，若存在非负函数
f(x)，对任意实数x，
F(x)?P(X?x)
称为随机变量X的分布函数。
F(x)??f(x)dx??x，
则称
X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率
4
密度。
f(x)的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。
对于连续型随机变量事件?。
X，虽然有P(X?x)?0，但事件(X?x)并非是不可能
由上式可知，连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 所以，
x?hP?x)?P(x?X?x?h)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?P(x1?X?x2)?F((xX2)?F(x1)
密度函数具有下面4个性质： 1° 2°
?f(x)dx
xf(x)?0。
?????f(x)dx?1????令h?0，则右端为零，而概率P(X?x)?0，故得P(X?x)?0。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 2、常见分布 ①0－1分布
的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积
P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布
。
F(??)??等于1。
f(x)dx?1如果一个函数3°
f(x)满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。
x2在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，
P(x1?X?x2)＝F(x2)?F(x1)＝?f(x)dx。
x1设为X，则X可能取值为0,1,2,?,n。
4° 若
f(x)在x处连续，则有F?(x)?f(x)。
P(X?k)?Pn(k)?Cnpkqn?kk， 其中
P(x?X?x?dx)?f(x)dx
它在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X论中所起的作用相类似。
q?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n，
?xk)?pk在离散型随机变量理
则称随机变量X服从参数为n，
p的二项分布。记为X~B(n,p)。
E??,??
A?P(A),(古典概型，五大公式，独立性)X|nP(X?k)q,npqn?1,C2p2qn?2,?,Ckpkqn?k,?,pnnn容易验证，满足离散型分布率的条件。 当nX(?)?X(?)?x?F(x)?P(X?x)
?1时，P(X?k)?pkq1?k，k?0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）
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概率论与数理统计_知识点总复习讲解
