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课时分层提升练 十六
导数的综合应用
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数f(x)=ln x-x3+1的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.因为f′(x)=-x2=0?x=1,所以当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)∈
.因此零点个数为2.
2.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形的面积的最大值为
( )
A.10 B.15 C.25 D.50
【解析】选C.如图,CDEF为半圆O的内接矩形,C、D为圆上的动点,
;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)∈
连接OC,设∠COF=α,则
CF=5sinα,OF=5cosα,
所以S矩形CDEF=2×5cosα·5sinα =25sin2α
.
所以S矩形CDEF的最大值为25.
3.若函数f(x)=xln x-a有两个零点,则实数a的取值范围为 ( ) A.C.
B. D.
【解析】选C.函数f(x)的定义域为(0,+∞), 由f(x)=xln x-a=0,得xln x=a,
设g(x)=xln x,则g′(x)=ln x+1,由g′(x)=ln x+1>0,得x>,此时函数单调递增,由g′(x)=ln x+1<0,得0 =ln =-,当x→0时,g(x)→0,所以要使函数f(x)=xln x-a有两个零点,即方程xln x=a有两个不同的根,即函数g(x)和y=a有两个不同的交点,则- 4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=17x2,生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产 ( ) A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台 【解析】选A.设利润为y,则 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3,y′=36x-6x2,令y′=0得x=6或x=0(舍),f(x)在(0,6)上是增函数,在(6,+∞)上是减函数,所以x=6时y取得最大值. 5.(2020·遵义模拟)设函数f(x)=x(2ln x-1)-ax+a,其中a>0,若仅存在两个正整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是 ( ) A.4ln 2-2≤a<3ln 3- B.4ln 2-2 【解析】选B.令f(x)=0,得x(2ln x-1)=ax-a, 令h(x)=x(2ln x-1),g(x)=ax-a=a(x-1), 则h′(x)=2ln x+1,令h′(x)=0,解得:x=减,x∈ ,故x∈(0, )时,h′(x)<0,h(x)递=-,h(1)=-1<0, 时,h′(x)>0,h(x)递增,故h(x)min=h 若仅存在两个正整数x0使得f(x0)<0,即保证有两个正整数解,由题意得: ,解得:4ln 2-2 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的 平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为________、________. 【解析】如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y,由题意,知当xy2取最大值时,横梁的强度最大. 因为y2=d2-x2,所以xy2=x(d2-x2)(0 d,或x=-d(舍去). d时,f′(x)>0; d d时,f(x)取得极大值,也是最大值. d,宽为 d时,横梁的强度最大. 因此,当x= 综上,当矩形横断面的高为答案: d d 7.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1 200+x3,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为________. 【解析】设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k, 由题知k=250 000,则a2x=250 000, 所以a= , -x3-1 200(x>0), 总利润y=500y′= -x2,由y′=0,得x=25, 当x∈(0,25)时,y′>0, 当x∈(25,+∞)时,y′<0, 所以当x=25时,y取得最大值. 答案:25件 8.用一张16 cm×10 cm的长方形纸片,经过折叠以后,糊成了一个无盖的长方体形纸盒,这个纸盒的最大容积是____________ cm3. 【解析】设剪下的四个正方形边长为x,则经过折叠以后,糊成的长方体形纸盒的底面是长为16-2x,宽为10-2x的长方形,其面积为(16-2x)(10-2x). 长 方 体 的 高 为 x, 体 积 为 V(x)=(16-2x)(10-2x)·x=4x3-52x2+160x(0 .由V′(x)>0,得函数V(x)=4x3-52x2+160x(0 递增;由V′(x)<0,得函数V(x)=4x3-52x2+160x(0
2021版高考数学理科人教核心讲练大一轮复习课时分层提升练 十六 导数的综合应用
