k?2k?2I?I?和??k???0???k2k?2k4II?k????u1???u??0 ?k??2??u??3?k??2k?2II??0解得： u11:u21:u31?1:1.78:1；
（或 u11:u21:u31?1:3?17:1） 4u12:u22:u32??1:0:1； u13:u23:u33?1:?0.28:1；
（或or u11:u21:u31?1:
系统的三阶振型如图：
3?17:1） 4r1
m1 I1o1m2 I2o2r23.1、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2
转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r1、m1、I1和r2、m2、I2。轮2的轮缘上连接一刚度为k的弹簧，轮1的轮缘上有软绳悬挂质量为m的物体，求：
m1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。 选取广义坐标x或θ； 图1 确定m的位移与摩擦轮转角的关系，（质量m的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）；， 写出系统得动能函数Et、势能函数U； 令d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度
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求出?n?k，进一步求出T
I1I2m?2?2r1r2I1kr1kr2I23.2、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I1＝I2，扭转刚度Kr1＝Kr2。
1）写出系统的动能函数和势能函数； （4分） 2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4分） 3）求出系统的固有频率； （4分） 4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4分） 令I1?I2?I,kr1?kr2?kr 1）略 2）
?K??kr??2?1??10? ??,M?I??01?
?11????3?5kr3?5kr2 ?n2?
2I2I23）频率：?n1??5?1?1??0.618?24）振型矩阵：?u??????5?1?1??1??2???1?
?0.618??3.3、（15分）根据如图所示微振系统，
1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。 （5分）
图3
3??2频率方程： ?(?2)?kmk?12?2?2?1mk0?13??2mk?0
?10m2mm)(2??2)?2(3??2)?0 kkkkkk222固有频率：?1?(2?2) < ?2?3 < ?3?(2?2)
mmm即：(3??2
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?2?111??0.41411????
振型矩阵： ?u???101?2???10?0.414???2?1?1?1??1??0.414?1??1．用能量法求如图所示摆作微振动的固有频率。摆锤质量为m，各个弹簧的刚度为k2，杆重不计。（本小题10分）
题三 1 题图
解：（1）确定系统任一时刻势能和动能的表达式
任一时刻系统的动能为：ET?1?)2 m(lA?2任一时刻系统的势能为：
12U?K(lBsin?)2?2?mglA(1?cos?) ?KlBsin2??mg(1?cos?)
2（2）根据能量法的原理
d?ET?U??0求解系统运动的微分方程和系统固有频率
dtd(ET?U)2??2??sin??0 ?mlA????2KlB?sin?cos??mglA?dt
?不总为零，微小振动时: cos??1sin???，且?因此可得系统自由振动的微分方程为：
2?2mlA???(2KlB?mglA)??0
系统固有频率为：
?n?22klB?mglA?2mlA22?2gklB?gmglAg?2klB????12? mglAlA?Wl?A?2． 试证明：单自由度系统阻尼自由振动的对数衰减率可用下式表示：
??1X0ln nXn式中：Xn是经过n个循环后的振幅。并计算阻尼系数??0.01时，振幅减小到50%以下所需的循环数。
解：对数衰减率?为相隔两个自然周期的两个振幅之比的自然对数，所以：
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ln?X0X1X0Xn?1?X0Xn?1X1??ln??????ln?ln???ln?n? ??XnXn?X1X2Xn?X1X2 所以：??1X0ln nXnx?Xe???0tsin??dt???
单自由度系统阻尼自由振动的响应为：
t=0时刻与nTd时刻（即n个自然周期后的时刻）的两个振幅之比为：
X02?2?Xe0sin??????0?nT?en??0Td，其中：Td?
2?XnXesin??d?nTd????01??dX0Xesin?????0?nT?en??0T?eXnXesin??d?nT???X0?2?eXn2n??1??202n??1??2
1??2ln2?2?n?
2?? 由此计算出??0.01时，振幅减小到50%以下所需的循环数应满足：
n?11.03
取整后得所需的循环数为12。
3．如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求M的振幅与水平行进速度v的关系。（本小题10分）
题三 3 题图
解：根据题意：不平道路的变化周期为：T?2??，且vT?L，
?v?2?v
?L对质量元件M进行受力分析，可得如下振动微分方程：
?L??????k?x?y??m???kx?ky?m???kx?kYcos?t m?xxx22???n??xx??nYcos?t2??x?Y??1?????n????2cos??t?
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所以振幅与行进速度之间的关系为：
X?Y??1?????n????2kL2Y??2 222kL?4?mv?2?v?m1???L??kY22???nxx??nYcos?nt 当???n时，?1此时： x?Y?ntsin?nt
21振幅X?Y?nt将随时间的增加而增大，所以???n时所对应的行进速度为最不利的
2行进速度，此时：
???n?2?v?LkL?v?m2?k——最不利的行进速度。 m4．如图所示扭转振动系统，已知各圆盘转动惯量为I1=2I2=2I，各轴段的扭转刚度为kt2=kt1=kt，求该系统的固有频率和固有振型。（本小题15分）
题三 4 题图 受力分析
解：（1）建立系统自由振动微分方程
取圆盘偏离平衡位置的角位移与为广义坐标，系统受力分析如图所示，应用刚体绕固定轴转动平衡微分方程，可得：
??1?2I???1??kt?1?kt??2??1??I1? ???2?I???2??kt??2??1??I2? 写成矩阵形式为：
?2I?0?（2）求系统固有频率
?2k??????K????M???t??kt2??1??2kt0?????????2???ktI?????kt??2I?2??kt???0?kt???1????0 kt????2?0?2kt?2I?2?2??ktI???ktkt?I?2?0
2I2?4?4Ikt?2?kt2?0
解频率方程得系统的两阶固有频率为：
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《机械振动》课程期终考试卷-答案
