抽象函数性质综述
抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.
函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查. 函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.
函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称. 一、基本定义
1、定义1：（周期函数）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，那么，函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数y?f(x)图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点仍在函数y?f(x)的图象上，则称函数y?f(x)的图象关于点P（或直线l）对称.
3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数y?f(x)图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点在函数y?g(x)的图象上；反过来，函数y?g(x)图象上任一点关于点P（或直线l）的对称点也在函数
y?f(x)的图象上，则称函数y?f(x)与y?g(x)的图象关于点P（或直线l）对称.
二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明
1、若函数y?f(x)的定义域为R，且f(a?x)?f(x?b)恒成立，则函数y?f(x)是以T?a?b为周期的周期函数；
2、若函数y?f(x)的定义域为R，且f(a?x)?f(b?x)恒成立，则函数y?f(x)的图象关于直线
x?a?b对称； 23、若函数y?f(x)的定义域为R，且f(a?x)??f(b?x)恒成立，则函数y?f(x)的图象关于点
(a?b,0)对称； 2x?b)恒成立，则函数y?f(x)是以T?2(a?b)为周期4、若函数y?f(x)的定义域为R，且f(a?x)??f(的周期函数；
5、若函数y?f(x)的定义域为R，则函数y?f(a?x)与y?f(b?x)的图象关于直线x?6、若函数y?f(x)的定义域为R，则函数y?f(a?x)与y??f(b?x)的图象关于点(b?a对称； 2b?a,0)对称. 2略证：1、?f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)，?函数y?f(x)是以T?a?b为周期的周期函数.
2、函数y?f(x)图象上的任一点P(x0,y0)（满足f(x0)?y0）关于直线x?a?b的对称点为21
Q(a?b?x0,y0)，?f(a?b?x0)?f[(b?x0)?a]?f[b?(b?x0)]?f(x0)?y0
?点Q仍在函数y?f(x)的图象上，从而函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称. 23、函数y?f(x)图象上的任一点P(x0,y0)（满足f(x0)?y0）关于点(a?b,0)的对称点为2Q(a?b?x0,?y0)，?f(a?b?x0)?f[(b?x0)?a]??f[b?(b?x0)]??f(x0)??y0
?点Q仍在函数y?f(x)的图象上，从而函数y?f(x)的图象关于点(a?b,0)对称. 24、?f(x?2a?2b)?f[(x?a?2b)?a]??f[(x?a?2b)?b]??f(x?a?b)
??f[(x?b)?a]??{?f[(x?b)?b]}?f(x),?函数y?f(x)是以T?2(a?b)为周期的周期函数.
5、函数y?f(a?x)图象上的任一点P(x0,y0)（满足f(a?x0)?y0）关于直线x?b?a的对称点为2Q(b?a?x0,y0)，?f[b?(b?a?x0)]?f(a?x0)?y0
反之函数y?f(b?x)的图象上任一点关于直线x??点Q在函数y?f(b?x)的图象上；
也在函数y?f(a?x)图象上.从而函数y?f(a?x)与y?f(b?x)的图象关于直线x?6、函数y?f(a?x)图象上的任一点P(x0,y0)（满足f(x0)?y0）关于点(b?a的对称点2b?a对称. 2b?a,0)的对称点为2Q(b?a?x0,?y0)，??f[b?(b?a?x0)]??f(a?x0)??y0
?点Q在函数y??f(b?x)的图象上；反之函数y??f(b?x)的图象上任一点关于点(点也在函数y?f(a?x)图象上.从而函数y?f(a?x)与y??f(b?x)的图象关于点(三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论
b?a,0)的对称2b?a,0)对称. 21、若函数y?f(x)满足f(x)?f(?x)，则函数y?f(x)的图象关于y轴对称；函数y?f(x)和函数
y?f(?x)的图象也关于y轴对称.
2、若函数y?f(x)满足f(x)??f(?x)，则函数y?f(x)的图象关于原点对称；函数y?f(x)和函数
y??f(?x)的图象也关于原点对称.
3、若函数y?f(x)满足f(x?a)?f(a?x)，则函数y?f(x)的图象关于y轴对称；而函数y?f(x?a)和函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称.
4、若函数y?f(x)满足f(x?a)??f(a?x)，则函数y?f(x)的图象关于原点对称.而函数y?f(x?a)和函数y??f(a?x)的图象关于点(a,0)对称.
5、若函数y?f(x)满足f(m?x)?f(m?x)，则函数y?f(x)的图象关于直线x?m对称；而函数
y?f(m?x)和函数y?f(m?x)的图象关于y轴对称.
2
6、若函数y?f(x)满足f(m?x)??f(m?x)，则函数y?f(x)的图象关于点(m,0)对称；而函数
y?f(m?x)和函数y??f(m?x)的图象关于原点对称.
7、若函数y?f(x)满足f(x)?f(2b?x)，则函数y?f(x)的图象关于直线x?b对称；函数y?f(x)和函数y?f(2b?x)的图象也关于直线x?b对称.
8、若函数y?f(x)满足f(x)??f(2b?x)，则函数y?f(x)的图象关于点(b,0)对称；函数y?f(x)和函数y??f(2b?x)的图象也关于点(b,0)对称.
9、若函数y?f(x)满足f(m?x)?f(x?m)，则函数y?f(x)是以T?2m为周期的周期函数；若函数
y?f(x)满足f(m?x)??f(x?m)，则函数y?f(x)是以T?4m为周期的周期函数.
四、函数周期性与对称性的关系
1、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线x?a和x?b(a?b)对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)，则函数f(x)是以T?2(a?b)为周期的周期函数. 2、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和点(b,0)(a?b)对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a?x)??f(a?x)，f(b?x)??f(b?x)，则函数f(x)是以T?2(a?b)为周期的周期函数. 3、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线x?a和点(b,0)(a?b)对称,即对于任意的实数x,函数
f(x)同时满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)??f(b?x)，则函数f(x)是以T?4a?b为周期的周期函数.
略证：
1、?f[x?2(a?b)]?f[a?(x?a?2b)]?f[a?(x?a?2b)]=?f(2b?x)
?f[b?(b?x)]?f[b?(b?x)]?f(x)，?函数y?f(x)是以T?2(a?b)为周期的周期函数.
2、3同理可证.
五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线x?a和x?2a对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a?x)?f(a?x)，f(2a?x)?f(2a?x)，则函数f(x)是以T?2a为周期的周期函数，且是偶函数. 2、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线x?a和点(2a,0)对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a?x)?f(a?x)，f(2a?x)??f(2a?x)，则函数f(x)是以T?4a为周期的周期函数，且是奇函数. 3、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和直线x?2a对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a?x)??f(a?x)，f(2a?x)?f(2a?x)，则函数f(x)是以T?4a为周期的周期函数，且是偶函数. 4、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和点(2a,0)对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a?x)??f(a?x)，f(2a?x)??f(2a?x)，则函数f(x)是以T?2a为周期的周期函数，且是奇函数. 5、若偶函数f(x)关于直线x?a对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(a?x)?f(a?x)，则
f(x)是以T?2a为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
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7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数. 8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数. 略证：
1、由上述四中的第1点即可得函数是以为周期的周期函数, 又
函数是偶函数.
2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解. 六、其它结论
1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称. 2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称. 注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.
3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为. 4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称. 略证；任取，令，则，，
由中点公式知点与点关于点对称.由的任意性，知函数的图象关于点对称.
5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ① ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数； ③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦，则是以为周期的周期函数.
注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
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抽象函数性质
