人教版 初二数学 竞赛专题：配方法（含答案）
【例1】 已知实数x，y，z满足x?y?5,z?xy?y?9 ，那么x?2y?3z?_____ 【例2】 若实数a，b， c满足a?b?c?9 ，则代数式(a?b)?(b?c)?(c?a) 的最大值是 ( )
A、27 B、18 C、15 D、12 【例3】 已知a?b?2a?1?4b?2?3c?3?22222221c?5， 求a + b + c的值. 2
【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
【例6】 已知自然数n使得n?19n?91 为完全平方数，求n的值.
能力训练
1、计算10+83+22 =_________.
2、已知a?b?c?2(a?b?c)?3?0 ，则a?b?c?3abc?_________.
2223332y2?4?xy?2y ，则x+ y的值为__________. 3、x，y为实数，且x?224、当x＞2时，化简代数式x?2x?1?22x?2x?1 ，得___________.
5、已知m?4x?12xy?10y?4y?9 ，当x=________，y=______时，m的值最小. 6、若M?10a?b?7a?6,N?a?b?5a?1 ，则M－N的值 ( )
A、负数 B、正数 C、非负数 D、可正可负 7、计算14?65?14?65 的值为 ( )
2222
A、1 B、5 C、25 D、35
28、设a，b, c为实数，x?a?2b??3,y?b2?2c??6,z?c2?2a??2 ，则x，y，z中
至少有一个值 ( )
A、大于零 B、等于零 C、不大于零 D、小于零
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是( )
A、3n?3n?3 B、4n?4n?4 C、5n?5n?5 D、7n?7n?7 E、11n?11n?11
10、已知实数a，b， c满足a?2b?7,b?2c??1,c?6a??17 ，则a + b + c的值等于 ( )
A、2 B、3 C、4 D、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x1，x2，x3,… xn为实数.
(1) 若x1?x2?L?xn?0 则x1，x2，x3,… xn中至少有(或存在)一个为零； (2) 若x1?x2?L?xn?0，则x1，x2，x3，… xn中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若x1?x2?L?xn?0，则x1，x2，x3，… xn中至少有(或存在)一个小于零.
22222222?2z2?x?1?z2?2x2?11、解方程组?y? 21?x??2y2?z?2?1?y
12、能使2?256 是完全平方数的正整数n的值为多少？
n
13、已知a?b，且(a?b)?(a?ab?b)?
13、设a为质数，b为正整数，且9(2a?b)?509(4a?511b) ，求a，b的值.
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1) 根据图象求y与x之间的函数关系式(0＜x＜160)；
(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？
y 990 540 间数（个） 2a?243 ，a，b为自然数，求a，b的值. b0 50 100 x 单价（元）
答案
例1 10 提示：x=5-y代入??2=????+???9，然后配方.
例2 A 提示：原式=3(??2+??2+??2)?(??2+??2+??2+2????+2????+2????).
例3 a+b+c=20 提示：将等式整理，得(???1?2√???1+1)+(???2?4√???2+4)+
12
(???3?6√???3+9)=0
2
2
12
2
即(√???1?1)+(√???2?2)+(√???3?3)=0
例4 原式=? 44?44 ?88 ? 88 +1=? 44?44 ?00 ? 00 +?88 ? 88 +1=4×? 11?11 ×10??+1 +8×
??+1
??+1
??+1
??+1
??+1
??+1
11?11 ?
??+1
+1=4
2????2?1111??9?1111?1??8?1111?1?36??11L11??12?11L11?1??6?11L11?1? 1L231L231L2312312314243n?1n?1n?1n?1n?1????n?1例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，S＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.
设电梯停在第x层，在第一层有y人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： S?3??1?2?L??33?x????3?1?2?L?y????1?2?L??x?y?2???
=
3??33?x??34?x?2?3y?y?1?2??x?y?2??x?y?1?
2 =2x2??y?102?x?2y2?3y?1684 y?102?1?2 =2?x????15y?180y?3068?
4?8?y?102?12? =2?x????y?6??316?316
4?8? 又当x=27，y=6时，S最小值=316.
22故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分. 例6 若n?19n?91为完全平方数，则4n2?19n?91也是完全平方数.
2 ?? 250 0 19??3=m2， 设4n2?19n?91=m2（m为自然数）配方得?2n?100 ??单价（元）
∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3
?m?2n?19=3?m?2n?19=1?m=2?m=2或?或?于是? 解得：?
m?2n?19=1m?2n?19=3n=10n=10????故当n=9或10时n2?19n?91是完全平方数. 能力训练
1. 4?2 2. 0 3. 6 4. 2x?1 5. -3，-2, 5 6. B 7. C 8. A 提示：x?y?z=?a?1???b?1???c?1????3大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定
2222A、C、D、E，而4n2?4n?4=4n2?n?1，
??n2?n2?n?1??n?1?，故n2?n?1不是完全平方数. 10. B
11. （x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. a=1?b?=01+a12. 提示：当n<8时，?222?b2，若它是完全平方数，则n必为偶数.
a2?b2=m若n=2，则2n?256?22?65；若n=4，则2n?256?24?17；若n=6，则2n?256?26?5；若n=8，则2n?256?28?2.所以当n ?8时，2n?256都不是完全平方数.
当n>8时，2n?256?28(2n?8?1)，若它是完全平方数，则2n?8?1为一奇数的平方，设2n?8?1??2k?1?（k为自然数），则2n?10?1?k?k?1?，由于k和k+1一奇一偶，∴k=1，于
2是2n?10?2，故n=11.
?a?54?a?242 或? 13. 提示：设a=kb（k为正整数），则k?b?1??243?27?32?3?92，解得?b?2b?8??14. 由9?2a?b?=5092?32k2，得到4a?511?509k?2a?=509?32k2，a=22a+b=509k，b=509k-2a，代入原式得，因为a为质数，故有以下情况：
k?511?9k?2⑴当k=1时，a=511?9=251，为质数，b=509k-2a=7. 2511?9k511?9k为质数且k>2，则=1，此方程无整数解，22⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k为奇数时，a=k?舍去.
⑷当k>2且k为偶数时，a=解，舍去.
kk?511?9k?为质数，且?1，则511-9k=1，此方程无整数22
综上所述，a=251，b=7.
15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0 ⑵每周的住宿收入是S元，则S???9x?1440?x??9x2?1440x??9?x?80??57600 当x=80时，S最大?57600元. 2
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