思考与
第 1 课时
实数的有关概念
【知识梳理】
1. 实数的分类：整数 (包括 : 正整数、 0、负整数 )和分数 (包括 :有限小数和无限环
循小数 )都是有理数 . 有理数和无理数统称为实数 . 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应
.
3. 绝对值：在数轴上表示数 a的点到原点的距离叫数 a的绝对值，记作∣ a∣，正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0. 4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．
近似数的有效数字 .
5
－5 a的相反数是 -a， 0的相反数是 0.
5. 有效数字：一个近似数 ,从左边笫一个不是 0的数字起 ,到最末一个数字止 ,所有的数字 ,都叫做这个
6. 如:407000=4.07 10× ,0.000043=4.3 10× . 7. 大小比较：正数大于 0，负数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小.
8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂 .
9. 平方根： 一般地， 如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根 （也叫做二
次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有
平方根．
10. 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方．
11. 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 0
的算术平方根是 0．
12. 立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方
根） ,正数的立方根是正数 ;负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0． 13. 开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方． 【思想方法】 【例题精讲】
数形结合，分类讨论
例 1.下列运算正确的是（
A．33
B． (
1
）
) 1
3C．9
3D．3273
3 例2. 2 的相反数是（
）
A ．
2
B．
2
）
C．
2 2
D ．
2 2
例 3.2 的平方根是（
A ．4
B． 2
C．2 D．2 》显示，港珠澳大桥工程估算总投资
例 4.《广东省 2009 年重点建设项目计划（草案）
726 亿元，用科
学记数法表示正确的是（
）
A ． 7.26
1010 元 9B． 72.6 10 元 C． 0.726 1011 元 D ． 7.26 1011 元
例 5.实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（
）
b 1 0
0 a 例 5 图 C． ab 0
1
A ． a b 0B． a b 0
D．
a
b
0
例 6.（改编题）有一个运算程序，可以使：
a ⊕ b = n ( n 为常数 )时，得
（ a +1）⊕ b = n +2 ， a ⊕（ b +1） = n -3
现在已知 1⊕ 1 = 4，那么 2009⊕ 2009 = 【当堂检测】
3
．
1.计算
1 2
的结果是（
）
A ．
1 6
1 2
B ．
1 6
）
C．
1 8
D ．
1 8
2. 2 的倒数是（ A ．
B ．
1 2
）
C． 2
D ． 2
3.下列各式中，正确的是（
A ． 2
15 3 B．315 4 C．4 15 5 D．14 15 16
） a 0
4.已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 A．1 B． 1
|1 a |
a2 的结果为（
C． 1 2a
D ． 2a 1
1 1
5. 2 的相反数是（ A ． 2
）
B ．
2
C．
1
D ．
1 2
第 4题图
6.-5 的相反数是 ____,-
1
2
的绝对值是 ____,
2
4 =_____.
2
7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－
2
8.如果 ( ) 1 ，则 “ ”内应填的实数是（ 3 A ．
1的数. ） D．
3
B．
2
3
C．
2
2 3
3 2
思考与收获
第 2 课时
实数的运算
【知识梳理】
1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等
时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数．
2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘，积仍为 0． 4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0 除以任何非 0 的数都得 0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，先算括号里面的．
6．有理数的运算律：
加法交换律： a+b=b+a(a、b 为任意有理数 ) 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数 )
【思想方法】 【例题精讲】 初二年级
数形结合，分类讨论
例 1.某校认真落实苏州市教育局出台的 “三项规定 ”，校园生活丰富多彩．星期二下午 4点至5
点，
240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人
2 倍，那么参加美术活动的同学其有
数的 3 倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的 ____________名 .
例 2.下表是 5 个城市的国际标准时间 （单位：时）那么北京时间 2006 年 6 月 17 日上午 9 时应是 (
纽约 多伦多
伦敦 )
北京 汉城
-5 -4
0
8 9 国际标准时间（时）
例 2 图
A ．伦敦时间 2006 年 6 月 17 日凌晨 1 时. B．纽约时间 2006 年 6 月 17 日晚上 22 时. C．多伦多时间 2006 年 6 月 16 日晚上 20 时 . D ．汉城时间 2006 年 6 月 17 日上午 8 时.
例 3.如图，由等圆组成的一组图中，第
1 个图由 1 个圆组成，第 2 个图由 7 个圆组成，第 3 个图由
9 个图形由 __________ 个圆组成 .
19 个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第
例 3 图
） B ． 3 D． 52
思考与收获
例 4.下列运算正确的是（ A．32 C．( 3 1)2
5 3 1
2 6
32
5 3
例 5.计算： (1)32
8(1)0
(3) 22
(31)0 ( ) 1 ；
2
1
1 1
9
(2)3 (2)0 tan 45 o
(4) ( 1)2008
0
()3
11 3
8.
【当堂检测】
1.下列运算正确的是（ A ． a4×a2=a6 C． ( a3 )2
）
B ． 5a2b 3a2b 2 D． (3ab 2 ) 3 a5
9a3b6
2.某市 2008 年第一季度财政收入为 (
)
41.76 亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为
A． 41 108 元 9
B ． 4.1 10 元 9
C． 4.2 10 元
D． 41.7 108 元
3.估计 68 的立方根的大小在 ( A.2 与3之间
)
B.3与 4之间 C.4与 5之间
）
D.5与6之间
4.如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ A ．
7
B．
7
P
3 2 1 O 1 2 3
C．
3.2
D．
10
第4题图
5.计算：
1
(1) ( 1)2009
(1) 2
2
16 cos60 0
（ 2） 3
1
0
1 2 4
思考与收获
第 3 课时
【知识梳理】
整式与分解因式
1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
am a n
m
a m n
a m n an bn
（m、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则： 同底数幂相除， 底数不变， 指数相减， 即 a
a n
n
( ab)
（n 为正整数）；④零指数： a0
1 （ a≠0）；⑤负整数指数： a n
an
1 （ a≠0， n 为正整数）； 2.整式的乘除法 : (1) 几个单项式相乘除 ,系数与系数相乘除 ,同底数的幂结合起来相乘除 . (2) 单项式乘以多项式 ,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3) 多项式乘以多项式 ,用一个多 _项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项
.
(4) 多项式除以单项式 ,将多项式的每一项分别除以这个单项式
即 ( a b)( a b)
.
(5) 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，
a 2 b2 ；
(6) 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）
它们的积的 2 倍，即 (a b) 2 a 2 2ab b 2
3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式
a2 b2
( a b)(a b) ； a2 2ab b2
(a b)2
5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项 (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】
【例 1】下列计算正确的是（
A. a ＋2a=3a 2
“ 1易”漏掉．
）
B. 3a－ 2a=a
22 ÷2a 2 =3a 2 C. a ? a 3 =a 6 D.6a
【例 2】（2008 年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的
结果是（ ）
m
A ． m
2
平方
- m 2 B ． m
(
÷m +2
结果
D ． m -1 ．
C． m +1
【例 3】若 3a
a 2 0，则 5
2a 6a2
【例 4】下列因式分解错误的是
A ． x2 C． x2
)
y 2 (x y)( x y)
B． x2 6x 9 ( x 3) 2
y2
(x y)2
思考与收获
【例 5】如图 7-①，图 7-②，图 7-③，图 7-④， ，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行 “广 ”字，按照这种规律，第 5 个 “广 ”字中的棋子个数是 ________，第 n 个 “广 ”字中的棋子个数是 ________
xy x( x y)
D． x2
【例 6】给出三个多项式：
1 x2 2x 1 ， 1 x2 4x 1 ， 1 x2 2x ．请选择你最喜欢的两个多项 2 2 2
中考数学总复习_全部导学案(教师版).doc
