人教A版高中数学高一必修二(浙江专版)学案：3.1直线的倾斜角与斜率_Word版有答案)

3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率

预习课本P82～85，思考并完成以下问题 1．直线的倾斜角的定义是什么？ 2．直线的倾斜角的范围是什么？ 3．直线的斜率的计算公式是怎样的？ [新知初探]

1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的

向之间所成的倾斜角是∠

BPx.

(2)倾斜角的范围：

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. [点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

2．直线的斜率 (1)斜率的定义：

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. (2)斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

(3)斜率的作用：

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

y2－y1

.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． x2－x1

[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )

(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α( ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( ) A．45° C．45°或135°

B．135° D．－45°

解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.

3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( ) A.3 3

B.3

2 2

3. 3

C．1 D.

解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝

直线的倾斜角

[典例] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )

A．α＋45° C．135°－α

B．α－135°

D．α＋45°或α－135°

180°(0°≤α＜180°，所以当

[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．

[答案] D

求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]

已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A．0°≤α＜90° C．90°＜α＜180°

B．90°≤α＜180° D．0°＜α＜180°

解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.

直线的斜率

[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)．

5－3

[解] (1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝

4－245°.

－1－3

(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角

2－－2

α＝135°.

(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.