u?[L?L2?4fL]
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
12
u?(6?32)h≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 O1O2?O2O3?
L?u11h?(?2)h?0.854h L24(3)
(4)
?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1?O1?h?O1O2?0.146h S1?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜同理，O3的位置应在S3中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点． 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况（纸面为MM?平面）．图中C1、
?、S2?为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与C2表示L1、L2的边缘，S1O1O2的交点．
?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）S1为圆心的圆2分别是
光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为
??utan??0.439h (5) 根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知
h 0.439h Q T N 0.439h K 圆1 S1’ O1 W2 C1 0.146h Q’ N’ T’ x2 0.854h
???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75h (6) O1K???O1S1故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进
入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ x1 图2 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和
O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为
d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h
（7）
由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，
?O1?? x1M?r?S1x1M?0.457h
(8)
?O1的值，得 代入r，??和S1
代入(7)式，得
(9) x2m?d?x1M?0.189h
由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，
x2M?r??
代入r和??的值，得 (10) x2M?0.311h
x1m?d?x2M?0.335h （11）
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法Ⅰ：
?的位置应位于OP1的延长线上的某点B1如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q1?的位置应位于OP2的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据题意处，q2有
A1 ?qq k1?k1?0 (1)
A1P1A1B1O ??B1 B2
a P1 a P2 qq?k2?k2?0 (2) RA1P2A1B2S图1
怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系． ?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1
2OP1?OB1＝R
(3) (4)
即
OP1OA1?OA1OB1
则
△OPOA1B1 1A1∽△
有
A1P1A1B1?OP1OA1?a R(5)
由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1?
q???R1aq1 由 (3) 式知，等效电荷q1?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 2
OBR1?a
同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷
q???R2aq2 等效电荷q?2的位置B2到原球壳中心O位置的距离 OB?R22a
解法Ⅱ：
在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1?，OB1?d．根据题意，q1和q1?两者在A1点产生的电势和为零．有
kq1r?kq1??0 1r1?式中
r221?(R2?a?2Racos?)1
r1??(R2?d2?2Rdcos?)12
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
q21(R2?d2?2Rdcos?)?q?21(R2?a2?2Racos?)
（4＇）
（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相应
系数应相等，即
q221(R?d2)?q?21(R2?a2)
q21d?q?21a
（6＇）
由（5＇）、（6＇）式得
ad2?(a2?R2)d?aR2?0
(6)
(7)
(8)
(9)
（1＇）
（2＇）（3＇） 5＇）
7＇）
（ （
解得
(a2?R2)?(a2?R2)d?
2a（8＇）
由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 由（6＇）、（9＇）式有
R2d?
a（9＇）
R22??2q1 q1a2（10＇）
考虑到（1＇）式，有
同理可求得
???q1Rq1 a（11＇）
R2OB2?
a（12＇）
???q2Rq2 a（13＇）
?、q2、q2?共同产生，即 2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、q1
?1R11R1?? UA?kq?????PAaBAPAaBA?122??1
(10)
因
22P1A?r?2racos??a
?R2??R2?2???B1A?r?2r??a?cos???a? ????2A B2 P2A?r?2racos??a
?R2??R2????B2A?r?2r??a?cos???a? ????2222O ??P2 a a P1 RS 图2
B1 代入 (10) 式得
?1R? UA?kq? ?222224ar?2raRcos??R?r?2racos??a
?1r?2racos??a22???
2224?ar?2raRcos??R?R(11)
评分标准：
本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．
第2问2分，即(11)式2分．
六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vB?表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理， 对C有
对B有
对AB有
A B???? I D C I?sin??mvC I?I?cos??mv
E (1) (2) (3)
I?sin??mvB I?cos??2m?v?vB??
(4)
因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有
由以上五式，可解得
vCsin??vB?cos??vBsin?
(5)
3?sin2?I?mv 21?3sin?(6)
评分标准：
本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2
为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
E?Bl?v1?v2?
(1)
当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势
2004年第21届全国中学生物理竞赛复赛试题
