1．1 算法的含义
案例探究
有8个小球，其中7个重量相同，仅有一个较重，用天平如何称出那个重的小球． 方法1：把8个小球分成四组，依次将每组放在天平上，直到某一组不平衡，就可确定重的小球，最多需称4次．
方法2：（1）从8个小球中任取6个小球，将这6个小球每边3个置于天平上；（2）若天平平衡，则表明重的小球在剩余的2个小球中，只需将那两个小球放在天平上再称1次就可找到重的那个小球；（3）若天平不平衡，则从较重的一边的3个球中任取两个球称量，若平衡，则剩下的那个即为要找的小球，若不平衡，则重的那边就是要找的小球． 我们做任何事情，都是在一定条件下按某种顺序执行一系列操作．解决数学问题也常常如此，这就是本节内容要研究的算法思想．
自学导引
一般而言，对一类问题机械的、统一的求解方法称为算法．
1．算法概念的理解
（1）算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确有效的，而且能在有限步骤之内完成．（2）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是特殊与一般的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．（3）算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具条理性、逻辑化特点． 2．算法的五个特点
（1）概括性：写出的算法必须能解决一类问题，并且能重复使用．
例如：给出求解方程组的一个算法．
?x?2y??1，?．?2x?y?1① ② 解析：解这个方程组的步骤是： 第一步：②-①×2得5y=3； ③ 第二步：解③得y= 第三步：将y=
3； 531代入①，得x=． 55 像上例二元一次方程组的求解问题，也适用于其他二元一次方程组的求解．
（2）正确性与顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成了一个有着很强逻辑性的序列．
（3）有限性：算法有明确的开始和结束界限，终止时表示问题得到解答或指出问题没解，是在有限步骤内求解某一问题．
（4）不唯一性：求解某一问题的算法不是唯一的，可以有不同的算法．当然这些算法有繁简之分，但是都能解决这一类问题．
（5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，例如，手算、心算、用算盘、用计算器算都要经过有限的、事先设计好的步骤来实现．同样的一个工作计划，生
产流程都可以视为算法．
疑难剖析
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的方方面面，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养．
算法是高中数学课程的新增内容，其思想方法是非常重要的． 【例1】 试写出求解二元一次方程组的算法．
思路分析：本题主要考查二元一次方程组的解的算法．不妨设二元一次方程组为
?a11x1?a12x2?b1，??a21x1?a22x2?b2① ② 对于求方程的根，解方程组这样的数值性的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤把它描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法． 解：由于是二元一次方程组，故方程组中a11、a21不能同时为0．
第一步，假定a11≠0(如果a11=0，可将第一个方程与第二个方程互换)，①×(-得到 （a22-
a21)+②a11a21a12ab）x2=b2-211． a11a11即方程组可化为
?a11x1?a12x2?b1，??(a11a22?a21a12)x2?a11b2?a21b1．a11b2?a21b1． ⑤
a11a22?a21a12③ ④ 第二步，如果a11a22-a21a12≠0，解方程④得到 x2=
第三步，将⑤代入③，整理得到 x1=
a22b1?a12b2． ⑥
a11a22?a21a12 第四步，输出结果x1、x2．
如果a11a22-a21a12=0,则从④可以看出方程组无解或有无穷多组解．
嗣位启示：从本例可以发现，求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题．并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果．
2
变式训练：1．试写出求一元二次方程ax+bx+c=0的根的算法．
2
解：第一步：计算Δ=b-4ac；
第二步：如果Δ<0．则原方程无实数解，
否则（Δ≥0）
?b?b2?4acx1?，
2a?b?b2?4acx2?；
2a 第三步：输出x1,x2或无实数解的信息．
2
2．试写出求x-5x-6>0的解的算法．
2
解：第一步：求对应方程x-5x-6=0的两根x1=-1,x2=6． 第二步：写出解集{x|x>6或x<-1}．
【例2】 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法． 思路分析1：按照逐一相加的程序进行． 解法1：第一步：计算1+2，得3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加得6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加得10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加得15； 第五步：将第四步中的运算结果15与6相加得21． 思路分析2：可以运用公式1+2+3+…+n= 解法2：第一步：取n=6； 第二步：计算
n(n?1)；直接计算． 2n(n?1)； 2 第三步：输出运算结果．
思维启示：题目尽管简单，还是要一步一步地做．否则就不能利用上述算法解决这一类问题．
变式训练：写出求1×2×3×4×5×6的值的算法． 解：第一步：计算1×2，得2；
第二步：将第一步中的运算结果2与3相乘得6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相乘得24； 第四步：将第三步中的运算结果24与5相乘得120； 第五步：将第四步中的运算结果120与6相乘得720．
【例3】 已知球的半径R=5，写出求球的体积V的一个算法．
思路分析：算法具有普遍性，过去学过的许多公式的应用都是算法，描述算法时只要将问题的解答分为明确的步骤即可． 解：第一步：输入球的半径R=5； 第二步：用球的体积公式V=
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πR，计算V的值； 3 第三步：输出V．
思维启示：平时我们解题的一般步骤只注重第二步，其他步骤往往忽略了，算法却讲究“一步一步地去做”．像这类套用现成公式求值的题一般分为三步：“第一步输入需要的值，第二步套用公式，第三步输出结果．”
2
【例4】 写出一个求解任意二次函数y=ax的最值的算法．
4ac?b2 思路分析：由二次函数的知识得，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函
4a4ac?b2数有最大值．
4a 解：算法步骤如下： 第一步：输入a、b、c；
4ac?b2 第二步：计算m=
4a 第三步：若a>0，输出最小值m； 第四步：若a<0，输出最大值m．
变式训练：写出求点M（1，2）到直线3x+5y-6=0的距离的算法．
解：第一步：输入点M的坐标x0=1,y0=2及直线方程的系数A=3，B=5，C=-6； 第二步：计算P=Ax0+By0+C；
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第三步：计算Q=A+B； 第四步：计算d=
PQ；
第五步：输出D．
【例5】 一列快车长168米，一列慢车长米．如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒钟，求两车的速度．
思路分析：本题是一个实际的数值问题，对于这样的问题一定要建立它的数学模型；按照数学的处理方案一步一步地具体化，两车相向而行，则其相对速度为速度之和，两车同向而行，则其相对速度为速度之差，相对移动的距离均为两辆火车的长度之和．
第一步：设快车时速为x公里/小时，慢车时速为y公里/小时，可以得到如下方程组：
?4(x?y)?168?184， ?16(x?y)?168?184；? 第二步：将其化简得??x?y?88，?x?y?22；① ② 第三步：将①+②得x=55； ③ 第四步：将③代入①或②得y=33．
思维启示：本题的关键是将具体的问题转化为数学模型，只要掌握了这个过程，则对于描述本题的算法就是解方程组的步骤了．
【例6】 现有有限个正整数，试设计一个求这些有限个正整数中最大数的算法． 思路分析：如果让我们从10个、8个正整数中找出最大数，也许是一件很简单的事，我们一眼就能看出结果．但如果给我们100个、1 000个，甚至更多的数，那么找出其中最大的数就是一件很困难的事了．我们必须依靠算法来解决这个问题．我们可以设想有一个基础数（如第一个数），让它作为其中的最大数，然后将第二个数与这个基础数比较，将这两者中的较大者再作为基础数与第三个数进行比较，找出其中的较大者，将其作为基础数再与第四个数比较，依次下去，直到与最后一个数比较完毕，就能确定出有限个正整数中的最大数．
解：算法步骤用自然语言叙述如下：
第一步：先假定这些正整数中的第一个数为“最大值”；
第二步：将这些整数中下一个数与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时就假定“最大值”是这个整数；
第三步：如果还有其他正整数，重复第二步； 第四步：一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这有限个正整数中的最大值．
思维启示：一种算法，就是要求我们去按部就班地做，每做一步都有唯一的结果，并且对任意的有限个正整数都适用，且在有限步之后，总能得出结果．
拓展迁移
【拓展点1】 写出求1×2×3×…×9×10的值的算法． 解法1：可用最原始的方法进行计算． 第一步，先求1×2，得到结果2；
第二步，将第一步所得结果2再乘以3，得到结果6； 第三步，将6再乘以4，得到24； 第四步，将24再乘以5，得到120； ……
第九步，将362 880再乘以10，得到3 628 800，即是最后结果． 虽然这样的算法是正确的，但过于繁琐．如果要求1×2×…×10 000的值，则要写9 999个步骤，显然是不可取的，而且每次都直接使用上一步的数值结果（如2，6，24等）也不方便，应当找到一种通用的方法．通过分析可发现规律，乘数是前一个加1．利用这一规律，可以得到第二种算法．
解法2：可以设两个变量，一个代表被乘数，一个代表乘数，不另设变量存放乘积结果，而直接将每一步的乘积放在被乘数变量中．现在设p为被乘数，i为乘数．用循环算法来求结果，可将算法改写如下． 第一步：使p=1． 第二步：使i=2．
第三步：使p=p×i（乘积仍放在变量p中）． 第四步：使i=i+1(使i的值加1)．
第五步：如果i≤10，则返回重新执行步骤第三步，以及其后的步骤第四步和第五步，否则算法结束．
【拓展点2】 试写出求1+2+3+4+5+…+n的算法．
思路分析：如果仅仅几个数相加．我们可以一个一个地相加．其实那也是一种算法．从例题2可以看出，我们每一步都是在重复运算，不同的是运算的数值不一样．但是运算的数值是有规律的．因此可以引进两个变量,一个是sum代表和,一个是i,先设sum=0,i=1,i的值在变化,sum的值变化．
解：第一步:设i的值为1； 第二步:设sum的值为0；
第三步:如果i≤n执行第四步,否则转去执行第七步； 第四步:计算sum+i并将结果代替sum； 第五步:计算i加1并将结果代替i； 第六步:转去执行第三步；
第七步:输出sum的值并结束算法．
【拓展点3】 设火车托运重量为P(单位:kg)行李时,每千米费用(单位:元)标准为:
高中数学第1章算法初步1.1算法的含义知识导引学案苏教版必修32017101742
