(1)如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM___ ∠EPN； ②
DP的值是 ； PE(2)如图2，当点P在CA延长线上时，(1)中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由； (3)如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.
【答案】(1)①=；②3；(2)成立，证明见解析；(3)y?【解析】 【分析】
43(x?3)2?43，最小值为43 3(1)①根据PE⊥PD， MN⊥AB得到∠DPE=90°，∠PMD=∠PNE=90°，即可得到∠PDM=∠EPN； AD =4，②根据CD=AB?43，∠ADC=90°，得到∠ACD=30°，设MP=x，则NP=4-x，得到MC=3MP=3x，DM=43-3x=3(4-x)，证明△PDM∽△EPN，得到答案； (2)设NP=a，则MP=4+a，证明△PDM∽△EPN，即可得到结论成立； (3)利用勾股定理求出PE2?PN2?EN2?(4?x)2?(算得到函数关系式. 【详解】(1)①∵PE⊥PD， ∴∠DPE=90°， ∴∠DPM+∠EPN=90°， ∵MN⊥AB，
∴∠PMD=∠PNE=90°， ∴∠PDM+∠DPM=90°， ∴∠PDM=∠EPN；
3242再根据矩形的面积公式计x)?x?8x?16，
33故答案为：=；
②∵CD=AB?43，AD =4，∠ADC=90°， ∴tan∠ACD=
AD43, ??CD433∴∠ACD=30°， 设MP=x，则NP=4-x，
∴MC=3MP=3x，DM=43-3x=3(4-x)， ∵∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°， ∴△PDM∽△EPN， ∴
DPDM3(4?x)=3， =?PEPN4?x故答案为：3； (2)成立，
设NP=a，则MP=4+a， ∵∠ACD=30°， ∴MC=3(4+a)，
∴MD=3(4+a)-43=3a，
由(1)同理得∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°， ∴△PDM∽△EPN， ∴
DPMD3a=??3， PENPa(3)∵PM=x， ∴PN=4-x，EN=3x， 33242x)?x?8x?16， 33∴PE2?PN2?EN2?(4?x)2?(∴PE?4242x?8x?16，PD?3?x?8x?16， 33∴矩形PEFD的面积为y=PE?PD?3?(x2?8x?16)?4343(x?3)2?43， 3∵
43>0， 3∴当x=3时，y有最小值
43. 【点睛】此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.
2020年内蒙古赤峰市中考数学试题（教师版含解析） - 图文
