个边长，落到圈A.
(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
(2) 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戏: 丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗?请说明理由.
【答案】(1)【解析】 【分析】
1 ；(2)公平，理由见详解 3(1)分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解； (2)分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫和甲甲跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解； 【详解】解：(1)当投掷点为1时，丫丫跳跃后到圈B；当投掷点为2时，丫丫跳跃后到圈C；当投掷点为3时，丫丫跳跃后到圈A；当投掷点为4时，丫丫跳跃后到圈B； 如图，
，
共3种等可能的结果，丫丫跳跃后到圈A只有一次，
1?P? 丫丫3故答案为：
1． 31 ； 3(2)由(1)知丫丫随机投掷一次骰子，跳跃后回到圈A的概率为甲甲随机投掷两次骰子，如图
共有等可能的情况有9种，其中甲甲跳跃后到圈A共3次，
? P甲甲=
31? 93?P丫丫=P甲甲 ? 这个游戏公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意根据题意画树状图，然后利用概率=所求情况数与总情况数之比求解是关键．
22. 甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
(1)求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
(2)我市计划修建长度为3600 m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0. 5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
【答案】(1)甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；(2)至少安排乙队施工32天． 【解析】 【分析】
(1)设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据甲工程队修500米公路需要的天数=乙工程
队修500米公路需要的天数－5即可列出分式方程，解方程并检验后即得答案；
(2)设安排乙队施工y天，根据甲工程队施工费用+乙工程队施工费用≤40万元即可列出不等式，解不等式即可求出y的范围，进而可得结果．
【详解】解：(1)设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米， 根据题意，得
500500??5， 2xx解得：x=50，
经检验：x=50是所列方程的根，2x=100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米． (2)设安排乙队施工y天，根据题意，得解得：y?32，所以y最小为32． 答：至少安排乙队施工32天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等和不等关系是解题的关键． 23. 如图，AB是长线交于点D. (1)求证:PD是
3600?50y?1.2?0.5y?40，
100O的直径，AC是O的一条弦，点P是O上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延
O的切线；
2 ，AC = 12.求直径AB的长. 3(2)若tan∠PAC=
【答案】(1)证明过程见解析；(2)AB=13，过程见解析 【解析】 【分析】
(1)连接OP，因为PD//AC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA =∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；
PE既为高线，(2)作PE?AC，在等腰PAC中，三线合一，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=
2AC=12，，3用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度． 【详解】解：(1)如图所示，连接OP，
∵PD//AC，
∴∠DPA =∠PAC(两直线平行，内错角相等)，
又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是PC所对圆周角，∠PCA是PA所对圆周角，
∴PC=PA，且∠PBA是PA所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA， ∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角， ∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，
又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP， ∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°， ∴PD为⊙O的切线；
(2)如下图所示，作PE?AC，
PE既为高线，∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，也为AC边的中垂线，已知AC=12， ∴AE=6，且tan∠PAC=
2PE=，故PE=4， 3AE由勾股定理可得：AP=AE2?PE2=62?42=213，
由(1)已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=
2， 3∴
PA2=，故BP=313， PB3由勾股定理可得：AB=PA2?PB2=(213)2?(313)2=13．
【点睛】本题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等角，利用角的代换来做题． 24. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
x2，材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为x1，则有x1?x2??问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
cbx1?x2?． ，aa(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
(3)若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y?构成“和谐三数组”，求实数m的值． 【答案】(1)【解析】 【分析】
(1)根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
4
的图象上，且三点的纵坐标恰好x
6，2，3(答案不唯一)；(2)见解析；(3)m=﹣4或﹣2或2． 5111111?=即可； (2)根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足?x3x1x2x1x2x3(3)先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果． 【详解】解：(1)∵∴
115??， 2366，2，3是“和谐三数组”； 56故答案为：，2，3(答案不唯一)；
5
2020年内蒙古赤峰市中考数学试题（教师版含解析） - 图文
