2017年普通高等学校招生全国统一考试(2)数学(文史类)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=( ) A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4} 2、(1+i)(2+i)=( )
A．1–i B．1+3i C．3+i D．3+3i
π
3、函数f(x)=sin(2x+3)的最小正周期为( )
π
A．4π B．2π C．π D．2 4、设非零向量a，b满足|a+b|=|a–b|，则( )
A．a⊥b B．|a|=|b| C．a∥b D．|a|>|b|
x22
5、若a>1，则双曲线a2–y=1的离心率的取值范围是( )
A．(2,+∞) B．(2,2) C．(1,2) D．(1,2)
6、如下左1图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A．90π B．63π C． 42π D．36π 开始输入aS=0，K=1K ?6是S=S+a?Ka=-aK=K+1输出S否 ?2x+3y–3≤07、设x，y满足约束条件?2x–3y+3≥0．则z=2x+y的最小值是( )
?y+3≥0A．–15 B．–9 C．1 D．9
2
8、函数f(x)=ln(x–2x–8)的单调递增区间是( )
A．(–∞,–2) B．(–∞,–1) C．(1,+∞) D．(4,+∞)
9、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )
A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可能知道两人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 10、执行上左2的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S=( ) A．2 B．3 C．4 D．5
11、从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
1132A．10 B．5 C．10 D．5 12、过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( ) A．5 B．22 C．23 D．33 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分． 13、函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为 ．
开始14、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(–∞,0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)= ．
15、长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 16、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ． 三、解答题：
(一)必考题：共60分．
17、(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=–1，b1=1，a2+b2=2． (1)若a3+b3=5，求{bn}的通项公式； (2)若T3=21，求S3．
1
18、(12分) 如图，四棱锥P–ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于地面ABCD，AB=BC=2AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P–ABCD的体积．
19、(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：
频率/组距频率/组距0.0680.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012025303540455055606570箱产量/kg旧养殖法0.0460.0440.0200.0100.0080.00403540455055606570箱产量/kg(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较． n(ad–bc)22
附： K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
x22
20、(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2+y=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足向量NP=2NM．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x=–3上，且向量OP·PQ=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21、(12分)设函数f(x)=(1–x2)ex． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22、[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
π
(2)设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
23、[选修4–5：不等式选讲](10分)已知a>0，b>0，a3+b3=2．证明： (1)(a+b)(a5+b5)≥4； (2)a+b≤2．
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)
数学(文史类)参考答案
一、选择题
A、B、C、A、C B、A、D、D、B D、C 二、填空题 13、5； 14、12； 15、14π；
π16、3． 三、解答题
17、解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=–1+(n–1)d，bn=qn–1．由a2+b2=2得d+q=3①
?D=3?d=1
(1)由a3+b3=5得2d+q2=6②，联立①和②解得?Q=0(舍去)，?q=2，因此{bn}的通项公式bn=2n–1．
??
2
(2)由b1=1，T3=21得q+q–20=0．解得q=–5，q=4．
当q=–5时，由①得d=8，则S3=21．当q=4时，由①得d=–1，则S3=–6．
18、解：(1)在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD． 又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD．
1
(2)取AD的中点M，连结PM，CM．由AB=BC=2AD及BC∥AD，∠ABC=90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD． 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥AD，PM⊥底面ABCD． ∵CM?底面ABCD，∴PM⊥CM．
14
设BC=x，则CM=x，CD=2x，PM=3x，PC=PD=2x．取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN=2x．
114
∵△PCD的面积为27，所以2×2x·2x=27，解得x=–2(舍去)，x=2．∴AB=BC=2，AD=4，PM=23．
12(2+4)
所以四棱锥P–ABCD的体积V=3×2×23=43．
19、(1)旧养殖法箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 而两种箱产量相互独立，则P(A)=0.62×0.66=0.4092． (2)由频率分布直方图可得列联表 箱产量≥50kg 箱产量<50kg 38 旧养殖法 62 34 66 新养殖法 2
2200(62×66–34×38)则K=100×100×96×104≈15.705>6.635，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
20、解：(1)设P(x,y)，M(x0,y0)，则N(x0,0)，向量NP=(x–x0,y)，NM=(0,y0)．
2x022
由向量NP=2NM得x0=x，y0=2y．因为M(x0,y0)在C上，所以2+y0=1．因此点P的轨迹方程为x2+y2=2． (2)由题意知F(–1,0)，设Q(–3,t)，P(m,n)，则向量OQ=(–3,t)，PF=(–1–m,–n)，∴向量OQ·PF=3+3m–tn，
22
向量OP=(m,n)，PQ=(–3–m,t–n)，由向量OQ·PQ=1得–3m–m+tn–n=1．
22
又由(1)知m+n=2，故3+3m–tn=0，∴向量OQ·PF=0，即OQ⊥PF．
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21、解：(1)f'(x)=(1–2x–x2)ex，令f'(x)=0得x1=–1–2，x2=–1+2．
当x∈(–∞,–1–2)时，f'(x)<0；当x∈(–1–2,–1+2)时，f?(x)?0；当x∈(–1+2,+∞)时，f'(x)<0． 所以f(x)在(–∞,–1–2)∪(–1+2,+∞)单调递减，在(–1–2,–1+2)单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1–x)ex． 当a≥1时，设函数h(x)=(1–x)ex，h'(x)=–xex<0(x<0)，因此h(x)在[0,+∞)单调递减， 而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1． 当0
5–4a–1
当0
5–1
当a≤0时，取x0=2，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1–x0)(1+x0)2=1≥ax0+1． 综上，a的取值范围是[1,+∞)．
4
22、解：(1)设P极坐标为(ρ,θ)( ρ>0)，M极坐标为(ρ1,θ)( ρ1>0)．则|OP|=ρ，|OM|=ρ1=cosθ．由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)．所以C2 的直角坐标方程为(x–2)2+y2=4(x≠0)． (2)设B极标为(ρ2,θ)( ρ2>0)，由题可知|OA|=2，ρ2=4cosα，则有
1ππ3πS△OAB=2|OA|·ρ2·|sin(α–3)|=2|sin(2α–3)–2|≤2+3．即当α=–12时，△OAB面积的最大值为2+3．
23、解：(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2–2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2–b2)2≥4．
3(a+b)23(a+b)333223
(2)因为(a+b)=a+3ab+3ab+b=2+3ab(a+b)≤2+4(a+b)=2+4 ，所以(a+b)3≤8，解得a+b≤2．
2017年高考文科数学试题全国卷2及解析word完美版
