2024-2024 学年湖北省部分重点中学高三（上）期末
数学试卷（理科）
题号 得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. i2024=（ ）
一
二
三
总分
A. 1 B. -1
x
C. i D. -i
）
+2，x∈R}，则 A∩B=（
2. 已知集合 A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3
A. （1，4） B. （2，4） C. （1，2） 3. 若 a=ln2，
，
的大小关系为（
）
D. （1，+∞）
A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a
4. 当 0＜x＜1 时，则下列大小关系正确的是（ ） A. x3＜3x＜log3x B. 3x＜x3＜log3 x C. log3 x＜x3＜3x D. log3 x＜3x＜x3 5. 已知 cos（ -α）=2cos（π+α），且 tan（α+β）= ，则 tanβ 的值为（
）
A. -7 B. 7 C. 1 D. -1
的
6. 将函数 f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移 个单位长度后得到函数
图象，则函数 f（x）的一个单调减区间为（
）
A. B. C. D.
7. 设向量 =（1，-2）， =（a，-1）， =（-b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三
点共线，则 + 的最小值为（
）
A. 4
8. 若数列{an}满足
B. 6 C. 8 D. 9
- =d（n∈N*，d 为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列{ }为调和数列，
且 x1+x2+…+x20=200，则 x5+x16=（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
2
9. 设函数 f（x）=x+2cosx，x∈[-1，1]，则不等式 f（x-1）＞f（2x）的解集为（
）
A. （-1， ）
10. 设椭圆
B. [0， ） C. （
]
D. [0， ]
的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA 为直径的圆与椭圆在 x
的值为（
）
轴上方部分交于 M、N 两点，则
A. B. C. D.
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11. 已知向量 、 、 满足
则向量 与向量 的夹角为（
， ）
， ，E、F 分别是线段 BC、CD 的中点．若 ，
A. B. C. D.
）
12. 已知变量 x1，x2∈（0，m）（m＞0），且 x1＜x2，若 x1 ＜x2 恒成立，则 m 的最大值为（
A. e B. C. D. 1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知数列{an}满足 a1=1，前 n 项和未 sn，且 sn=2an（n≥2，n∈N*），则{an}的通项公式 an=______． 14. 已知边长为 3 的正△ABC 三个顶点都在球 O 的表面上，且 OA 与平面 ABC 所成的角为 30°，则球 O 的
表面积为______．
15. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现 0.618 就是黄金分
割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 a=2sin18°，若 a2+b=4，则
=______．
16. 如图，已知双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲
线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若∠PAQ=60°，且 =3 ，则双曲线的离心率为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 满足
（1）求 A．
（2）若△ABC 的面积
．
，求△ABC 的周长．
18. 棋盘上标有第 0，1，2，…，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出
正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结 束．设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望；
（2）证明：
（3）求 P99，P100 的值．
;
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19. 如图，已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC 是圆柱底
面的直径，O 为底面圆心，E 为母线 CC1 的中点，已知 AB=AC=AA1=4 （1）求证：B1O⊥平面 AEO
（2）求二面角 B1-AE-O 的余弦值．
20. 椭圆 C 焦点在 y 轴上，离心率为 ，上焦点到上顶点距离为 2- ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l 与椭圆 C 交与 P，Q 两点，O 为坐标原点，△OPQ 的面积 S△OPQ=1，则| |2+| |2 是否为 定值，若是求出定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx- ex，其中 e 为自然对数的底数．
（1）?x1∈[- ，0]，?x2∈[0， ]，使得不等式 f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．
22. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ． （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，点 P（1，2），求|PA|+|PB|的值．
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23. 已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-4|．
（1）解不等式 f（x）≤6；
（2）若不等式 f（x）+|x-4|＜a2-8a 有解，求实数 a 的取值范围．
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答案
1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】A 12.【答案】A 13.【答案】 14.【答案】16π 15.【答案】 16.【答案】
17.【答案】解：（1）
由正弦定理可得： ∴ ∴ （2）
，
，
，且 A∈（0，π），
， ，∴
，
∴bc=12，
又 a2=b2+c2-2bcosA，∴9=（b+c）2-3bc， ∴ ， 即△ABC 的周长为 ．
18.【答案】解：（1）解：由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6，
P(X=3)=( )3= ， P(X=4)= P(X=5)=
= ， = ，
P(X=6)=( )3= ． ∴X 的分布列如下：
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