△AOB面积最大． 此时O到AB的距离d＝2. 2
设AB方程为y＝k(x－2)(k<0)， 即kx－y－2k＝0.由d＝
|2k|
23＝得k＝－. 3k2＋12
(也可k＝－tan∠OPH＝－
3
)． 3
答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题
典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( ) A．2 B．42 C．6 D．210
(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( ) 4
A.π 5
C．(6－25)π
3B.π 45D.π 4
2
2
2
2
解析 (1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． ∴|AC|＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|＝40－4＝36.
2
2
∴|AB|＝6.
(2)∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上． 设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|. |2×0＋0－4|4
又|OD|＝＝，
55
2
∴圆C的最小半径为，
5
224
∴圆C面积的最小值为π()＝π.
55答案 (1)C (2)A
1．(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x＋y＝5相切的直线的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 答案 A
|0＋0＋c|
解析 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝5，解得c＝±5，所以所求直22
2＋1线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
2．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案 C
解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到
2
2
l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共
3条(2条外公切线，1条内公切线)．
3．(2016·南昌二模)若圆C1：x＋y－2ax＋a－9＝0(a∈R)与圆C2：x＋y＋2by＋b－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为( ) A.2 B．2 C．4 D．22 答案 B
解析 圆C1：x＋y－2ax＋a－9＝0(a∈R)． 化为(x－a)＋y＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x＋y＋2by＋b－1＝0(b∈R)，化为x＋(y＋b)＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1， ∵圆C1：x＋y－2ax＋a－9＝0(a∈R)与圆C2：x＋y＋2by＋b－1＝0(b∈R)内切， 1222222
∴a＋b＝3－1，即a＋b＝4，ab≤(a＋b)＝2.
2∴ab的最大值为2.
4．(2016·泰安模拟)过点P(3,1)作圆C：(x－1)＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 C．4x－y－3＝0 答案 A
1
解析 如图所示，由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x2－1)，即2x＋y－3＝0.
B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
5．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x＋4x＋y－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)＋y＝3的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案 A
解析 因为圆C的标准方程为(x＋2)＋(y－1)＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，|－2k－1＋1|
因为直线l与圆C相切．所以＝2，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，
k2＋1|2＋0－1|2
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝<3，所以
22直线l与圆D相交．
6．(2016·岳阳一模)已知圆C：x＋(y－3)＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝23，则直线l的方程为( ) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 答案 B
解析 当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝23，得圆心C到直线
2
2
2
2
2
2
2
2
l的距离
d＝
|－k＋3|4
＝1，解得k＝，
3k2＋1
4
此时直线l的方程为y＝(x＋1)．
3
故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
7．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x＋y－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________． 答案 4π
解析 圆C：x＋y－2ay－2＝0，即C：x＋(y－a)＝a＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝
2
2
2
2
2
2
2
x＋2a的距离d＝
|0－a＋2a||a|?23?2?|a|?222
＝.又由|AB|＝23，得??＋??＝a＋2，解得a＝2，
?2??2?22
2
所以圆的面积为π(a＋2)＝4π.
8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l将圆(x－2)＋y＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________. 答案
2
2
2
2
2
2
解析 ∵(1－2)＋(2)＝3<4，
∴点(1，2)在圆(x－2)＋y＝4的内部．
当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l. ∵
2－02
＝－2，∴所求直线l的斜率k＝. 1－22
2
2
2
2
9．(2016·浙江名校协作体高三联考)已知点A(1－m,0)，B(1＋m，0)，若圆C：x＋y－8x→→
－8y＋31＝0上存在一点P使得PA·PB＝0，则正实数m的最小值为________． 答案 4
解析 圆C：(x－4)＋(y－4)＝1， 由已知PA⊥PB，设AB的中点为M(1，0)， 1
∴|PM|＝|AB|＝m，
2
又|MC|＝5，r＝1，∴4≤|PM|≤6， ∴正实数m的最小值为4.
2
2
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_4直线与圆圆与圆的位置关系教师用书
