已知两圆x＋y－2x－6y－1＝0和x＋y－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切； (2)m取何值时两圆内切；
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为(x－1)＋(y－3)＝11，(x－5)＋(y－6)＝61－m， 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m. (1)当两圆外切时，
5－1
2
2
2
2
2
2222
＋6－3
2
＝11＋61－m，
解得m＝25＋1011.
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5， 故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x＋y－2x－6y－1)－(x＋y－10x－12y＋45)＝0， 即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题
例3 (2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________. 答案 4
2222
11
2
－
|4×1＋3×3－23|
4＋3
2
2
2
＝27.
22
解析 设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝23，|AB|＝23，所以|OM|＝3，解得m＝－
?x－3y＋6＝0，3
，由?223?x＋y＝12
解得A(－3，3)，B(0，23)，则AC的直线方程为y－3
＝－3(x＋3)，
BD的直线方程为y－23＝－3x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)＋(y－3)＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围；
→→
(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点，所以4－74＋7解得 33所以k的取值范围为? |2k－3＋1| <1. 2 1＋k2 2 ?4－74＋7? ，?. 3??3 2 2 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将y＝kx＋1代入方程(x－2)＋(y－3)＝1，整理得 (1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0. 4 所以x1＋x2＝ 1＋k7 ，x1x2＝22. 1＋k1＋k2 2 →→ OM·ON＝x1x2＋y1y2 4k2 ＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k由题设可得 1＋k＋8. 2 1＋k1＋k＋8＝12，解得k＝1， 2 1＋k所以l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在l上，所以|MN|＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题 例5 已知圆C：(x－1)＋(y＋2)＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l1：x＋y－4＝0平行； (2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1)． 解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0， 则 |1－2＋b| ＝10，∴b＝1±25， 2 2 2 ∴切线方程为x＋y＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x＋y＋m＝0， 则 |2－2＋m| ＝10，∴m＝±52， 5 ∴切线方程为2x＋y±52＝0. －2＋11 (3)∵kAC＝＝， 1－43 ∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3， ∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)， 即3x＋y－11＝0. 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． (1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1,3)， B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于( ) A．26 B．8 C．46 D．10 122 (2)若直线xcos θ＋ysin θ－1＝0与圆(x－1)＋(y－sin θ)＝相切，且θ为锐角， 16则该直线的斜率是( ) A．－33 B．－3 C. D.3 33 答案 (1)C (2)A →→ 解析 (1)由已知，得AB＝(3，－1)，BC＝(－3，－9)， →→ 则AB·BC＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， →→ 所以AB⊥BC，即AB⊥BC， 故过三点A、B、C的圆以AC为直径， 得其方程为(x－1)＋(y＋2)＝25， 令x＝0，得(y＋2)＝24， 解得y1＝－2－26，y2＝－2＋26， 所以|MN|＝|y1－y2|＝46，选C. (2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 1122 即|cos θ＋sinθ－1|＝，|cos θ－cosθ|＝， 44 1122 所以cos θ－cosθ＝或cos θ－cosθ＝－(不符合题意，舍去)． 44 22 2 112 由cos θ－cosθ＝，得cos θ＝， 42又θ为锐角，所以sin θ＝ 3 ， 2 cos θ3 故该直线的斜率是－＝－，故选A. sin θ3 6．高考中与圆交汇问题的求解 考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质． 一、与圆有关的最值问题 典例1 (1)(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标→→→ 为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( ) A. 333 B．－ C．± D．－3 333 22 2 →→→22 解析 (1)∵A，B，C在圆x＋y＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故PA＋PC＝2PO＝(－→→→→22 4,0)，设B(x，y)，则x＋y＝1且x∈[－1,1]，PB＝(x－2，y)，∴PA＋PB＋PC＝(x－6， y)．故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37， ∴当x＝－1时有最大值49＝7，故选B. 1 (2)∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB 211＝sin∠AOB≤. 22π 当∠AOB＝时， 2 →→→
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_4直线与圆圆与圆的位置关系教师用书
