《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》
达标检测
[A组]—应知应会
1?4
1．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈??2，1?，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值x范围是( )
A．a≤1 C．a≤2
B．a≥1 D．a≥2
?1，1??≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4【解析】选A.由题意知f(x)min?x∈??2??
＋a，即a≤1，故选A.
3a
x＋－3?－，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值2．(2024·吉林白山联考)设函数f(x)＝ex??x?x为________．
【解析】原问题等价于存在x∈(0，＋∞)，使得a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，x∈(0，＋∞)，则a≥g(x)min，而g′(x)＝ex(x2－x)．由g′(x)>0可得x∈(1，＋∞)，由g′(x)<0可得x∈(0，1)．据此可知，函数g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e.综上可得，实数a的最小值为e.
3．(2024·西安质检)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－1. (1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围． 1
【解析】(1)因为f′(x)＝，
x所以f′(1)＝1.
又f(1)＝0，所以切线的方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)， 即所求切线的方程为y＝x－1.
(2)易知对任意的x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0. ①当a≥1时，f(x)≤g(x)≤ag(x)；
②当a≤0时，f(x)＞0，ag(x)≤0，所以不满足不等式f(x)≤ag(x)； 1
③当0＜a＜1时，设φ(x)＝f(x)－ag(x)＝ln x－a(x－1)，则φ′(x)＝－a，
x
第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题(达标检测)(解析版)
