《线性代数》作业参考答案
一、单项选择题
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 15.C
16.A 17.A 18.B 19.D 20.C 21.B 22.A 二．填空题 1. 6 2. ??337??
??1?37?3. 4 4. –10
5. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 6. n-r 7. –5 8. –2 9. 1
222?z210. z12?z3?z4
11. ｔ＝６
12. Ａ、Ｂ均为３阶方阵， 13. ??714??
?1?6??14. １６
15. Ｅ３
16. 秩（Ａ）＜ｎ 17. 2 三．计算题
?120??2?2?????1.解（1）AB=?340??34???????121???10?T
?86???=?1810?. ???310?（2）|4A|=4|A|=64|A|，而
120|A|=340??2.
?1213
所以|4A|=64·（-2）=-128
3?52152.解
110?5?123?4131?1?31?5?110?5110?5?113?11300
=?11?551?1 ?501210?=?6?5?50?62?30?10?40.
?5?53.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
?223??-1?（A-2E）=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?. ????164??1?4?3??423?????-1
所以 B=(A-2E)A=?1?5?3??110?
??????164???123??3?8?6???=?2?9?6?. ????2129?
??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1??????4.解一 ??0224??0112??????34?19??013?112?
?1?0?????0??0?1?0?????0??0015??1??2?0?????0088???0?14?14??0010000102??1?, 1??0?31035??112?
011??000?所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即 ?1
2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程组有唯一解（2，1，1），组合系数为（2，1，1）.
5.解 对矩阵A施行初等行变换
?1?2?1?000???A??032??09602??6?2?
8?2??3?2?02??8?3?=B. 3?1??00?T
2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列
是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
6.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
TT
ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.
?25/15??25/5?????经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.
?5/3??0?????λ=-8的一个特征向量为
?1??1/3?????ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2???2/3??25/5215/151/3???所求正交矩阵为 T=??5/545/152/3?.
?05/3?2/3???
?100???对角矩阵 D=?010?.
???00?8??25/5215/151/3???（也可取T=?0?5/32/3?.）
?5/5?45/15?2/3???7.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）-2x2+4x2x3-7x3
222
=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.
?y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2???x2?x3， 即?x2?y2?y3设?y2??x??y3?3?y?x3?3222
，
?1?20???因其系数矩阵C=?011?可逆，故此线性变换满秩。
???001?经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
222
y1-2y2-5y3.
??10??25???10??3?5???35?8.解：Ａ＝?＝＝?。 ????????13??08???08???12???816?a1111a1111aa111aa11a1111a11 ＝(a?1)1?19.解： ＝
00a?10111aa1
11a111＝(a?1)(a?2)1a1111＝(a?1)(a?2)0a?10＝(a?1)3(a?2)。
11a00a?110. 向量组α１，α２，α３的秩为２?－ｘ＋２＝０?ｘ＝２。
11.解：用α１，α２，α３，α４为列向量作矩阵Ａ，
?2?1 Ａ＝（α１，α２，α３，α４）＝??3??11?11??1?1211?????30?31???101??211?211???0?31??1?11?0
01??11?01?10????0?3?3?2????0?1?1?1??1?0??0??0?1?0??0??00?11001001??10?11??011?0?0????? ?0001??2?????1??000?1?0?10?110??＝（β１ β2 β3 β4）＝Ｂ 001??000?Ｂ中非零行的首非零元位于第１，２，４列，所以α１，α２，α４是向量组α１，α２，α３，α４的一个最大无关组。
在Ｂ中，有β3＝－β１＋β2＋０β４，所以，在Ａ中有α３＝－α１＋α２＋０α４。
2?1?10?32?1112. 解：A＝??23?1?1??14?1?3?1?101?01??5?000?0?00?20?2?1?10?05?1?51?????05?1?51???1??05?1?51511?5000?0010?1??? 1??1??0??11???1?5??0?00???000???0?1?5?1??， ?15?00?00??11?x??15?5x3?x4非齐次通解为?（ｘ３，ｘ４任意），
11?x2??x3?x455?11Ｔ? 令ｘ３＝ｘ４＝０，得非齐次特解：?＝（，，０，０）。
551?x??15x3?x4 导出组的通解为?（ｘ３，ｘ４任意），
1?x2?x3?x45? 一个基础解系为：?１＝（１，１，５，０），?２＝（－１，１，０，１），
Ｔ
Ｔ
非齐次结构解为：Ｘ＝?＋ｋ１?１＋ｋ２?２，其中ｋ１，ｋ２为任意数。 四、证明题
23
1.证 由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，
所以E-A可逆，且
?
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