第二讲 立体几何中的综合问题
1．(2024·江苏二模)如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1，BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ACC1A1； (2)AE⊥平面BCC1B1.
证明：(1)连接A1B，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1，
∴四边形AA1B1B是平行四边形， 又∵D是AB1的中点，∴D是BA1的中点， 在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点， ∴DE∥A1C，
∵DE?平面ACC1A1，A1C?平面ACC1A1， ∴DE∥平面ACC1A1. (2)∵A1C⊥BC1，AB1⊥BC1， 又由(1)知DE∥A1C，∴BC1⊥DE. 又AB1∩DE＝D，
∴BC1⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴AE⊥BC1， 在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC， ∵BC1∩BC＝B， ∴AE⊥平面BCC1B1.
2．(2024·呼和浩特一模)如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝22，沿
BD折起，使AC＝22.
(1)证明：△ACD为直角三角形；
(2)设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积． 解析：(1)证明：在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝22， ∴AD＝AB＋BD＝4＋8＝23， ∵AC＝22，CD＝2，∴AC＋CD＝AD， ∴AC⊥CD，
∴△ACD是直角三角形．
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(2)由(1)知CD⊥AC，CD⊥BC， ∵AC∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ACD，其交线为AC，
故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面BCD内的射影，
P为AC的中点，
∴四面体PBCD的体积：
VP-BCD＝××2×2×1＝.
3．(2024·内蒙古一模)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
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AD＝PD，E、F分别是CD、PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB；
(2)设AB＝3BC＝3，求三棱锥P-AEF的体积． 解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD＝AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD， ∴BA⊥平面PAD，则平面PBA⊥平面PAD，
∵AD＝PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA， ∴DG⊥平面PAB.
又E、F分别是CD、PB的中点，G是PA的中点，底面ABCD是矩形， ∴四边形EFGD为矩形，则DG∥EF， ∴EF⊥平面PAB.
(2)由AB＝3BC＝3，得BC＝3，AB＝3，AD＝AP＝3，且F是PB的中点． 1111113
∴VP-AEF＝VB-AEF＝VF-ABE＝VP-ABE＝·S△ABE·PD＝×××3×3×3＝.
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4．(2024·成都模拟)如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD＝2AB＝2EF＝4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，
(1)证明：EF⊥MC； (2)求三棱锥M-ABD的体积．
解析：(1)证明：由题意，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥AB，EF⊥CD， ∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF， ∵DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF， 又MC?平面DCF，∴EF⊥MC.
(2)由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2， ∵DM＝1，∴MF＝1＝AE，
又AE∥MF，∴四边形AEFM为平行四边形， ∴AM∥EF，故AM⊥DF.
∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且BE⊥EF， ∴BE⊥平面AEFD，
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∴VM-ABD＝VB-AMD＝S△AMD·BE＝××1×2×1＝.
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即三棱锥M-ABD的体积为.
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5．(2024·兰州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝23，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
(1)证明：BE⊥PC； (2)求多面体PABED的体积．
解析：(1)证明：∵BD＝AB＋AD－2AB·AD·cos∠BAD＝4，∴BD＝2， ∴∠ABD＝90°，∴BD⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
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∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC，
∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC， ∴PC⊥平面BDE，∴BE⊥PC.
(2)作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足， ∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD， ∵△PCD是正三角形，CD＝23， 3
∴PF＝3，EG＝，
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∴VP-ABCD＝×2×23×3＝43，
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VE-BCD＝××2×23×＝3，
∴多面体PABED的体积V＝VP-ABCD－VE-BCD＝43－3＝33.
6．(2024·汕尾一模)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝2AA1＝2，D是BC的中点．
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(1)证明：A1B∥平面ADC1；
(2)线段BC1是否存在点N，使三棱锥N-ADC1的体积为在，说明理由．
解析：(1)证明：如图，连接A1C，与AC1交于点O，连接OD，
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？若存在，确定点N的位置；若不存12
在△CA1B中，O和D分别是CA1和CB的中点，则OD∥A1B， 又OD?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1. (2)连接BC1，假设线段BC1上存在点N， 使得三棱锥N-ADC1的体积为
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2024版高考数学大二轮复习 专题三 立体几何 第二讲 立体几何中的综合问题限时规范训练 文
