专题15 超越方程反解难，巧妙构造变简单
【题型综述】
导数研究超越方程
超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．
在探求诸如x3?6x2?9x?10?0，x2?2lnx?x?2x?2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决． 此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域．
2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．
4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解．
[来源:学*科*网]
【典例指引】
例1．已知函数f?x??ax?xlnx在x?e?2处取得极小值． （1）求实数a的值；
（2）设F?x??x??x?2?lnx?f?x?，其导函数为F??x?，若F?x?的图象交x轴于两点
2C?x1,0?,D?x2,0?且x1?x2，设线段CD的中点为N?s,0?，试问s是否为F??x??0的根？说明理由．
例2．设函数f?x??lnx?12ax?bx 2（1）当a?3,b?2时，求函数f?x?的单调区间； （2）令F?x??f?x??12a1ax?bx?(0?x?3)，其图象上任意一点P?x0,y0?处切线的斜率k?恒成2x2立，求实数a的取值范围．
2（3）当a?0,b??1时，方程f?x??mx在区间??1,e??内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
例3．已知函数
（
）
（1）讨论的单调性； （2）若关于的不等式
的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．
【同步训练】
1．已知函数f?x??te?2x?x?21（t?R），且f?x?的导数为f??x?． 2（Ⅰ）若F?x??f?x??x是定义域内的增函数，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若方程f?x??f??x??2?2x?x有3个不同的实数根，求实数t的取值范围．
2
2．已知函数f?x??ax?lnx?322的图象的一条切线为x轴．（1）求实数a的值；（2）令3g?x??f?x??f??x?，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g?x1??g?x2?，求证： x1x2?1．
3．已知函数f?x??a?x?lnx?（a?0），g?x??x．
2（1）若f?x?的图象在x?1处的切线恰好也是g?x?图象的切线． ①求实数a的值；
②若方程f?x??mx在区间?,???内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
（2）当0?a?1时，求证：对于区间?1,2?上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有
?1?e??f?x1??f?x2??g?x1??g?x2?成立．
[来源:Z,xx,k.Com]
4．已知函数f?x??xlnx,?e?2.718LL?． （1）设g?x??f?x??x?2?e?1?x?6，
2①记g?x?的导函数为g??x?，求g??e?；
②若方程g?x??a?0有两个不同实根，求实数a的取值范围；
2（2）若在?1,e?上存在一点x0使mf?x0??1?x0?1成立，求实数m的取值范围．??[来源学科网]
5．已知函数f?x??x2?3x?3?ex．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f?x?在??2,t?(t??2)上为单调函数；
（2）若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f?x??z?0?x?R?在??2,t?上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z的取值范围．
6．已知函数f?x??lnx?ax2,g?x??（1）求a的值；
（2）对任意的x1??1,e?，都存在x2??1,4?，使得f?x1??g?x2?，求b的取值范围；
??11?x?b，且直线y??是函数f?x?的一条切线． x2??（3）已知方程f?x??cx有两个根x1,x2(x1?x2)，若g?x1?x2??2c?0，求证: b?0．
[来源学。科。网Z。X。X。K]
（为自然对数的底数，，
时，方程，
，求在，求使
在
上的最大值
），
，
．
[来源学科网ZXXK]7．已知函数（1）若（2）若（3）若
8．设函数（1）求函数
（2）若函数（3）若方程
的表达式；
上恰有两个相异实根，求实根的取值范围； 的图象恒在
图象上方的最大正整数．
．
的单调区间；
有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
，有两个不相等的实数根
，比较
与0的大小．
专题2.15 超越方程反解难,巧妙构造变简单(原卷版)
