吉林省长春市第一五〇中学2024学年高二数学上学期期中试题
文
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，试卷满分：150分，考试时间：120分钟。 考试范围：选修1-1。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求。 1．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am2?bm2，则a?b”的逆命题是真命题
22B．命题“?x?R，x?x?0”的否定是：“?x?R，x?x?0”
C．命题“p?q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x?R，则“x?1”是“x?2”的充分不必要条件
x22.椭圆?y2?1的左右焦点分别为F1,F2，一条直线经过F1与椭圆交于A,B两点，则
3?ABF2的周长为（ ）
A．23 B．6 C．43 D． 12 3.曲线y??1在?1,?1?处的切线的斜率为（ ） x11A. ?1 B. ? C. D.1
224.函数y?lnx?x在区间?0,e?上的最大值为（ ）
A. 1?e B.?1 C.?e D.0
5. 已知函数f(x)的导函数f?(x)，且满足f(x)?3x?2xf?(2)，则f?(5)＝( ) A．5
B．6 C．7 D．－12
2x2y26.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为
abA．y??2x 2 B．y??3x C． y??2x D．y??3x 27.若函数y=x-3bx+1在区间[1，2]内是减函数，b∈R，则（ ） A. b?4 B. b?1 C. b?4 D. b?1
3
x20?y2?1的左右焦点分别为F1,F2，8. 椭圆点P在椭圆上,且?F1PF2?90，则?F1PF24的面积是( )
A.8 B.4 C. 2 D.1
9.已知双曲线方程为x?y?4，过点A?3,1?作直线l与该双曲线交于M,N两点，若点A22恰好为MN中点，则直线l的方程为（ ）
A. y?3x?8 B.y??3x?8 C.y?3x?10 D.y??3x?10
10. 已知函数f（x）的导函数f??x?的图像如图所示，那么函数f?x?的图像最有可能的是 （ ）
11.如图，过抛物线y?2px(p?0)的焦点F的直线L交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若AF?4且BC?2BF，则此抛物线的方程为 （ ）
A.y?x B.y?2x C.y?4x D.y?8x
12.若y?f?x?在x?0上可导，且满足：xf22222 '?x??f?x??0在(0, +?)恒成立，又常数
a,b满足a?b?0,则下列不等式一定成立的是（ ）
A.af?a??bf?b? B. af?a??bf?b? C.bf?a??af?b? D.bf?a??af?b?
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数y=f（x）在x=3处的切线方程是y=2x+1，则f（3）+f′（3）=______． 14.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点，则a的值为__．
15．已知函数f(x)?x?mx?(m?6)x?1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的
32取值范围是________.
16.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.（本小题满分10分）
x2y2??1表示焦点在x轴上的椭圆．命题p：?x?R,x?3x?m?0，命题q：方程 9?mm?22（1）若命题p为真，求m的取值范围； （2）若命题p∧q为真，求m的取值范围． 18.（本小题满分12分）
已知点M到点F(1,0)的距离等于点M到直线x?1?0的距离,设点M的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）过点F(1,0)且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求线段AB的长．
19.（本小题满分12分）
已知函数f?x??x?3x?9x?m.
32(1)求函数f?x??x?3x?9x?m的单调递增区间；
32(2)若函数f?x?在区间?0,2?上的最大值12，求函数f?x?在该区间上的最小值. 20.（本小题满分12分）
3x2y2e?. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点P(2,1)离心率为
2ab（1）求椭圆的方程； （2）直线l:y?1x?m交椭圆于A,B两不同的点． 求?PAB面积的最大值. 221.（本小题满分12分）
?6??中心在原点的双曲线C的右焦点为F??2,0?,渐近线方程为y??2x
??（1）求双曲线C方程；
（2）直线l：y?kx?1与双曲线C交于P,Q两点，试探究：是否存在以线段PQ为直径的经过原点，若存在，求出的值，不存在，请说明理由。 22.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?121x?与函数g(x)?alnx在点(1,0)处有公共的切线， 22设 F(x)?f(x)?mg(x)(m?0). (1)求实数a的值;
(2)求F(x)在区间[1,e]上的最小值.
参考答案：一、选择题
题 号 答 案 二、填空题 13.9 14.8 15.m??3或m?6 16.3?1 三、解答题
2
17. 【答案】解：（1）若x-3x+m=0有实数解，
1 B 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A 11 C 12 D 9 .......4分
???(?3)?4m?0,?m?42（2）∵若椭圆焦点在x轴上，所以，
11，.......6分
?2?m?2
若命题p∧q为真，则p，q都为真，
?2?m?1199且m?,?2?m?. ......10分 244【解析】求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键． 18. 【答案】解：(1)点M的轨迹是焦点为F(1,0),准线为x??1的抛物线, 19. 设方程为y2?2px(p?0) ,则p?220. （2）直线l的方程为：y?x?1,由
曲线C的方程为 y2?4x ......4分
设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则x1?x2?6,x1x2?1...8分 ?y?x?12得x?6x?1?0?2?y?4xAB?1?k2x2?x1?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?8
另解：AB?x1?x2?p?6?2?8 ??12分
【解析】本题考查了轨迹方程、抛物线方程及直线与抛物线关系,考查了学生的计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力．
(1)结合抛物线的定义,可以得出该曲线是抛物线,即可得出结果．
(2)求出直线方程,联立之后带入两点间的距离公式即可得出结果本题直线刚好过抛物线的
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