[基础题组练]
1.(2020·河南六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=( )
A.16 C.8
B.15 D.7
2
解析:选B.设公比为q,由题意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q,又a1≠0,所以1×(1-2)
4q=4+q,解得q=2,所以S4==15,故选B.
1-2
2
4
2.(2020·陕西五校联考)各项为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,则log2a7+log2a11的值为( )
A.1 C.3
2
B.2 D.4
解析:选C.由题意得a4a14=(22)=8,由等比数列的性质,得a4a14=a7a11=8,所以log2a7+log2a11=log2(a7a11)=log28=3,故选C.
3.(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1,则{an}的通项公式an=( )
A.2n-1 C.2-1
nB.2
n-1
D.2n+1
解析:选B.当n=1时,S1=2a1-1=a1,所以a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1, 因此an=2
n-1
,故选B.
1
4.(2020·长春市质量监测(一))已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若公比q=2,则
a1+a3+a5
=( ) S6
1A. 32C. 3
1B. 73D. 7
2
4
解析:选A.法一:由题意知a1+a3+a5=a1(1+2+2)=21a1,而S6=所以
a1(1-26)
1-2
=63a1,
a1+a3+a521a11
==,故选A. S663a13
法二:由题意知S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a3+a5+(a2+a4+a6)=a1+a3+a5+
2(a1+a3+a5)=3(a1+a3+a5),故
a1+a3+a51
=,故选A. S63
5.(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 C.6里
B.12里 D.3里
1
解析:选C.记该人每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=的等比数列,
2
由S6=378,得S6=a1?1-6?2
??
1?
?
11-2
=378,解得a1=192,
1
所以a6=192×5=6,故选C.
2
12
6.(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,a4=a6,则S5
3= .
解析:通解:设等比数列{an}的公比为q,因为a4=a6,所以(a1q)=a1q,所以a1q=1,15×(1-3)
1a1(1-q)3121又a1=,所以q=3,所以S5===.
31-q1-33
5
2
32
5
12
优解:设等比数列{an}的公比为q,因为a4=a6,所以a2a6=a6,所以a2=1,又a1=,
3
2
15×(1-3)5
a1(1-q)3121
所以q=3,所以S5===. 1-q1-33
121
答案: 3
7.(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a2a12=16,则log2a15= .
解析:等比数列{an}的各项都是正数,且公比为2,a2a12=16, 所以a1qa1q=16,即a1q=16,
所以a1q=2,所以a15=a1q=a1q(q)=2,则log2a15=log22=6. 答案:6
8.已知{an}是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则{an}的通项公式为 ;
6
2
14
6
24
6
6
11
212
a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N+)= .
?1?解析:由a2=2,a1+a3=5,{an}是递减的等比数列,得a1=4,a3=1,an=4×???2?
n-1
,
1
则a1a2+a2a3+…+anan+1是首项为8,公比为的等比数列的前n项和.故a1a2+a2a3+…+
4
?1-?1??8×??4??1?n-11????32??1?n??anan+1=8+2++…+8×??==×?1-???.
213??4???4?
1-4
n?1?答案:an=4×???2?
n-1
32??1?n? ×?1-??? 3??4??
9.(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m. 解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=q4
2
n-1
.
由已知得q=4q,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)
n-1
或an=2
n-1
n-1
.
n(2)若an=(-2)
1-(-2)
,则Sn=. 3
由Sm=63得(-2)=-188,此方程没有正整数解. 若an=2
n-1
m,则Sn=2-1.由Sm=63得2=64,解得m=6.
nm综上,m=6.
10.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
3
ann
(1)求b1,b2,b3的值;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由. 2(n+1)
解:(1)由条件可得an+1=an.
n将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4, 将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12, 从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得数列.
[综合题组练]
1.(2020·河南郑州三测)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an=N,则数列{ban}的前10项和为( )
110
A.×(3-1) 2C.
19
×(27-1) 26
110
B.×(9-1) 8110
D.×(27-1) 26
*
an+12an=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比n+1nbn+1
=3,n∈bn解析:选D.因为an+1-an=
bn+1
=3, bn所以{an}为等差数列,公差为3,{bn}为等比数列,公比为3,所以an=1+3(n-1)=3n-2,bn=1×3
n-1
=3
n-1
,
n-1
所以ban=3
3n-3
=27,
所以{ban}是以1为首项,27为公比的等比数列,
1×(1-27)110
所以{ban}的前10项和为=×(27-1),故选D.
1-2726
2.(2020·陕西榆林二模)已知数列{an}满足a1=2,nan+1-(n+1)an=2(n+n),若bn=22an,则{bn}的前n项和Sn= .
?an?an+1an解析:由nan+1-(n+1)an=2(n+n),得-=2,又a1=2,所以数列??是首项
n+1n?n?
2
2
10
为2,公差为2的等差数列,所以=2+2(n-1)=2n,即an=2n,所以bn=22an=4,4-44-4
所以数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列,所以Sn==.
1-43
4
答案:
n+1
n+1
n+1
ann2n-4 3
4
3.(2020·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列,公比q<1,前n项和为Sn,若
a2=2,S3=7.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设m∈Z,若Sn<m恒成立,求m的最小值.
??a1q=2,
解:(1)由a2=2,S3=7得? 2
?a1+a1q+a1q=7,?
a1=4,????a1=1,
解得?1或?(舍去)
?q=2.q=???2
1?n-1?1?n-3?所以an=4·??=??. ?2??2?
?1-1n?4??1?a1(1-qn)?2??
(2)由(1)可知,Sn===8?1-n?<8.
1-q1?2?
1-2
因为an>0,所以Sn是增加的.
又S3=7,所以当n≥4时,Sn∈(7,8). 又Sn<m恒成立,m∈Z,所以m的最小值为8.
4.(2020·河南蚌埠二模)Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.
(1)求an及Sn;
(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
??a(1-q)
=13,解得a=1,q=3, 解:(1)由题意可得?1-q??q>0,
3
1
1
a1q3=9a1q,
所以an=3
n-1
1-33-1,Sn==. 1-32
nn(2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列, 因为S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,
1
21112n所以(λ+4)=(λ+1)(λ+13),解得λ=,此时Sn+=×3,则=3,
2221
Sn+
2
Sn+1+
5