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1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【 知识精读 】
如果多项式的各项有公因式， 根据乘法分配律的逆运算， 可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成因式
乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。 它的理论依据就是乘法分配律。 多项 式的公因式的确定方
法是：
(1 )当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
(2 )系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【 分类解析 】
1. 把下列各式因式分解
2 m 2 m 1 m m 3
(1 ) a x abx
3
2 2
acx ax
(2) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)
分析：(1 )若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系 数是正数，在提出“－”
号后，多项式的各项都要变号。
2 m 2 m 1 m m 3 m 2 3
解： a x abx acx ax ax (ax bx c x )
(2 )有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，
如：当 n 为自然数时，
2n2n(a b) (b a) ；(a b)2n 1 2n 1
，是在因式分解过程中常用的因式变换。 (b a)
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解：a(a
b)3 2a2 (b
a)2 2ab(b a) b)2 2ab(a b)
a(a b)3 2a2 (a
a(a b)[(a b)2 2a(a b) 2b]
2
a(a b)(3a 4ab b2 2b)
2.
利用提公因式法简化计算过程 例：计算123
分析：算式中每一项都含有
987 268竺 987 456竺
521
1368 1368 1368 1368
987 1368
，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
987 解：原式 (123 1368
云8 1368 987
268 456 521)
3.
在多项式恒等变形中的应用
2x y 3 例：不解方程组 ，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 5x 3y 2
分析：不要求解方程组，我们可以把
2x y和5x 3y看成整体，它们的值分别是
3和
2，观察代数式，发现每一项都含有 2x y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 2x y和5x 3y的式子，即可求出结果。
解：(2x y)(2x 3y)
3x(2x y) (2x y)(2x 3y 3x) (2x y)(5x 3y) 6。
把2x y和5x 3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是
4. 在代数证明题中的应用
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例：证明：对于任意自然数 n , 3n 2 2n 2 3n 2n 一定是10的倍数。
分析： 首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是
3
n 2
10 的倍数即可。
2n 2 3n
2n
3
n 2
3n 2n 2 2n
3n(32 1) 2n(22
10 3
n
1)
5 2
n
nn
对任意自然数n, 10
3n 2
3n和5 2n都是10的倍数。 2n 一定是 10 的倍数
2n 2 3n
5 、中考点拨：
例 1 。因式分解 3x(x 2) (2 x) 解： 3x(x 2) (2 x)
3x(x 2) (x 2) (x 2)(3x 1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例 2 ．分解因式： 4q(1 p) 3 2(p 1) 2
32
解： 4q(1 p) 3 2(p 1) 2
4q(1 p) 3 2(1 p)2 2(1 p)2[2q(1 p) 1] 2(1 p)2(2q 2pq 1)
说明： 在用提公因式法分解因式前， 必须对原式进行变形得到公因式， 同时一定要注意符
2
号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
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